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等直圆杆扭转时的应变能
* §3-6 等直圆杆扭转时的应变能 纯剪切应力状态下的应变能密度 对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力t 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力t dydz在相应的位移g dx上作功。 三、 应变能与能密度 a c d dx b ? ? dy ?′ ?′ dz z ? x y 单元体微功： 应变比能：单元体内蓄积的应变能dVε数值上等于单元体上外力所作功dW，即dVε=dW 。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为 由剪切胡克定律t =Gg，该应变能密度的表达式可写为 在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为 等直圆杆在扭转时积蓄的应变能 由 可知，亦有 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为 在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得： 例1 图示AB、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块， D截面处作用有外力偶矩 Me 。试求：（1）杆系内的应变能；（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D 截面的扭转角 jD。 A B C D Me l/2 l T2=Me D Me T1=-Me B C D Me 解 : 1. 静力平衡求扭矩 2. 杆系应变能 其转向与Me 相同。 A B C D Me 3. 求D 截面的扭转角 jD 例2 试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a 5°)受轴向压力(拉力)F 作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。 解：1. 求簧杆横截面上的内力 对于密圈螺旋弹簧，可认为簧杆的横截面就在包含外力F 作用的弹簧轴线所在纵向平面内(如图)，于是有： 剪力 FS =F 扭矩 T =FR *
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