西南交通大学数值分析题库.pdfVIP

考试目标及考试大纲 本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平 测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评 定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。通过它可以有效鉴别和分离 不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。 本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重 要方法的考查。考试内容包括以下部分： 绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差 估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。 非线性方程求解：方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代 法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken 加速法、 Newton 法与弦截法、牛顿局部收敛性、Newton 收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、 弦截法）、 重根加速收敛法。 解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、 高斯-若当消元法、求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle 和Crout 三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky 分解、改进的平方 根法(免去开方) 、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。 解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩 阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计 与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi ）迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、迭代收敛与谱半径 的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估 计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。 插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理； Lagrange 插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿 （Newton ）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；Hermite 插值及其插值基函数、 误差估计、插值龙格（Runge ）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收 敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。 曲线拟合和函数逼近：最小二乘法原理和多项式拟合、函数线性无关概念、法方程有 唯一解的条件、一般最小二乘法问题、最小二乘拟合函数定理、可化为线性拟合问题的常见 函数类；正交多项式曲线拟合、离散正交多项式的三项递推法。最佳一致逼近问题、最佳一 致逼近多项式、切比雪夫多项式、切比雪夫最小偏差定理、切比雪夫多项式的应用(插值余 项近似极小化、多项式降幂) 。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。 数值积分与微分：求积公式代数精度、代数精度的简单判法、插值型求积公式、插值 型求积公式的代数精度；牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式、辛卜生（Simpson）公式、几种 低价牛顿一柯特斯求积公式的余项；牛顿一柯特斯公式的和收敛性、复化梯形公式及其截断 误差、复化Simpson 公式及其截断误差、龙贝格（Romberg ）求积法、外推加速法、高斯型 求积公式、插值型求积公式的最高代数精度、高斯点的充分必要条件。正交多项式的构造方 法、高斯公式权系数的建立、Gauss-Legendre 公式的节点和系数。本段加黑斜体内容理论 推导可以淡化，但概念需要理解。 常微分方程数值解：常微分方程初值问题数值解法之欧拉及其改进法、龙格—库塔法、 阿当姆斯方法。 本套题库均采用闭卷考试，卷面总分为 100 分。试题形式分为判别正误、多项选择、 填空、解答和证明等多种题型。其中判断题、多项选择题和填空题覆盖整个内容范围，题量 多而广，重点集中在基本概念、公式和方法的构建与处理思想等方面，此类题型主要用于考 查学生对整体内容的理解与掌握情况；解答题重点放在主要的计算技术和方法的具体实现过 程，主要考查学生对主要计算技术、技巧和方法理解与掌握情况；证明题主要集中在主要的 计算技术和方法的分析过程，主要考查学生的理论分析能力和知识的综合运用