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* 第52节 解答题难题突破三(几何变换题——折叠与旋转) 第十一章 解答题 广东考点 1. (2012广东,21,9分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合.(1)求证:△ABG≌△C′DG;(2)求tan∠ABG的值;(3)求EF的长. 【考点】翻折变换(折叠问题);全等三角形的判定与性质;矩形的性质;解直角三角形. 【专题】压轴题;探究型. 【分析】(1)根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,故可得出结论;(2)由(1)可知GD=GB,故AG+GB=AD,设AG=x,则GB=8-x,在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长,进而得出tan∠ABG的值;(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故HD= AD=4,再根据tan∠ABG即可得出EH的长,同理可得HF是△ABD的中位线,故可得出HF的长,由EF=EH+HF即可得出结论. 【解答】(1)证明:∵△BDC′由△BDC翻折而成,∴∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,∴∠ABG=∠ADE,在△ABG与△C′DG中, ∴△ABG≌△C′DG(ASA); (2)解:∵由(1)可知△ABG≌△C′DG,∴GD=GB,∴AG+GB=AD,设AG=x,则GB=8-x,在Rt△ABG中,∵AB2+AG2=BG2,即62+x2=(8-x)2,解得x= , ∴tan∠ABG= (3)解:∵△AEF是△DEF翻折而成,∴EF垂直平分AD,∴HD= AD=4,∴tan∠ABG=tan∠ADE= ,∴EH=HD× =4× = ,∵EF垂直平分AD,AB⊥AD,∴HF是△ABD的中位线,∴HF= AB= ×6=3,∴EF=EH+HF= +3 = . 【点评】本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解答此题的关键. 2. (2011广东,21,9分)如图①,△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,将△DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它们的延长线)所在的直线于G,H点,如图②.(1)问:始终与△AGC相似的三角形有 及 ;(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由);??(3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形. 【分析】(1)根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,利用相似三角形的判定定理即可得出结论.(2)由△AGC∽△HAB,利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式:9:y=x:9即可.(3)此题要采用分类讨论的思想,当CG< BC时,当CG= BC时,当CG> BC时分别得出即可. 【解答】解:(1)∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,∵∠H+∠HAC=45°,∠HAC+∠CAG=45°,∴∠H=∠CAG,∵∠ACG=∠B=45°,∴△AGC∽△HAB,∴同理可得出:始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA;故答案为:△HAB和△HGA. (2)∵△AGC∽△HAB,∴AC:HB=GC:AB,即9:y=x:9,∴y= ,∵AB=AC=9,∠BAC=90°,∴BC= 答:y关于x的函数关系式为y= (0<x< ). 1.(2016江西模拟)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,此时PD=3. (1)求MP的值; (2)在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合.当AF等于多少时,△MEF的周长最小? (3)若点G,Q是AB边上的两个 动点,且不与点A,B重合,GQ=2. 当四边形MEQG的周长最小时, 求最小周长值. (计算结果保留根号) 强化训练 分析:(1)根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3,CD=MH=4,∠H=∠D=90°,然后利用勾股定理可计算出MP=5;(2)如图1,作点M关于AB的对称点M′,连接M
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