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南开大学2004年研究生入学考试试题 高等代数答案
博士数学论坛 / 数学学院 数学学院 南开大学 2004 年硕士研究生入学考试试题 数数学学学学院院 考试科目：高等代数 专业：数学学院、所各专业 注：本试卷共八道大题，请在答题纸上答题，注意写清题号. 1. (15 分)设 阶行列式 n a a ⋯ a 11 12 1n a a ⋯ a 21 22 2n =1, ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a a ⋯ a n1 n2 nn 且满足a = −a ,i, j= 1,2,⋯n.对任意b,求n阶行列式 ij ji a +b a +b ⋯ a +b 11 12 1n a +b a +b ⋯ a +b 21 22 2n = ? ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a +b a +b ⋯ a +b n1 n2 nn 解: a a ⋯ a 11 12 1n a a ⋯ a 令D= 21 22 2n , 则 D =1, 且D= −D, 两边取伴随, 有′ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a a ⋯ a n1 n2 nn ′ * * ′ * (D) = (D ) = −D n * * 则D 亦为反对称矩阵, 因此 A = 0. ∑ ij i,j=1 故 a +b a +b ⋯ a +b a a ⋯ a a a ⋯ a 11 12 1n 11 12 1n 11 12 1n a +b a +b ⋯ a +b a a ⋯ a n a a ⋯ a 21 22 2n 21 22 2
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