自考线性代数重难点解析与全真练习(二).docVIP

自考《线性代数》重难点解析与全真练习（二）　一、重点 　　1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵） 　　2、掌握： 　　1）矩阵的各种运算及运算规律 　　2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法 　　3）矩阵的初等变换方法 　　二、难点 　　1、矩阵的求逆矩阵的初等变换 　　2、初等变换与初等矩阵的关系 　　三、重要公式及难点解析 　　1、线性运算 　　1）交换律一般不成立，即AB≠BA 　　2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵 　　（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2 　　（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2 　　（AB）k≠AkBk 　　（A+B）（A-B）≠A2-B2 　　以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。 　　3）由AB=0不能得出A=0或B=0 　　4）由AB=AC不能得出B=C 　　5）由A2=A不能得出A=I或A=0 　　6）由A2=0不能得出A=0 　　7）数乘矩阵与数乘行列式的区别 　　2、逆矩阵 　　1）（A–1）–1＝A 　　2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0） 　　3）（AB）–1=B–1A–1 　　4）（A–1）T=（AT）–1 　　5）│A–1│=│A│–1 　　3、矩阵转置 　　1）（AT）T＝A 　　2）（kA） T=kAT，（k为任意实数） 　　3）（AB）T=BTAT 　　4）（A+B）T=AT+BT 　　4、伴随矩阵 　　1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A* 　　2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2） 　　3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）* 　　4）若r（A）=n，则r （A*）=n 　　若r（A）=n-1，则r （A*）=1 　　若r（A）n-1，则r （A*）=0 　　5）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1 　　5、初等变换（三种） 　　1）对调二行（列） 　　2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素 　　3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素 　　注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用 　　②求逆阵，只能用行或列变换 　　③求线性方程组的解，只能用行变换 　　6、初等矩阵 　　1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵 　　2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换 　　3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵 　　E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k） 　　7、矩阵方程 　　1）含有未知矩阵的等式 　　2）矩阵方程有解的充要条件 　　AX=B有解==B的每列可由A的列向量线性表示 　　==r（A）=r（A┆B） 　　四、题型及解题思路 　　1、有关矩阵的概念及性质的命题 　　2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置） 　　3、矩阵可逆的判定 　　n阶方阵A可逆==存在n阶方阵B，有AB=BA=I 　　==│A│≠0 　　==r（A）=n 　　==A的列（行）向量组线性无关 　　==Ax=0只有零解 　　==任意b，使得Ax=b总有唯一解 　　==A的特征值全不为零 　　4、矩阵求逆 　　1）定义法：找出B使AB=I或BA=I 　　2）伴随阵法：A-1=（1/│A│）A* 　　注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1）i+j，当n3时，通常用初等变换法。 　　3）初等变换法：对（A┆I）只用行变换化为（I┆A-1） 　　4）分块矩阵法 　　5、解矩阵方程AX=B 　　1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X 　　2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X 　　（A┆B）初等行变换（I┆X） 　　3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。