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主分量法进行多指标综合评价简介 一、主分量法进行多指标综合评价的基本思想 1、问题的提起 我们对样本（被评价对象）的评价，是通过一定的指标进行的，多个指标构成一个多维空间，被评对象成为多维空间中的样本点。两个样本在某项指标上变差越大，说明样本在这一指标维度上的距离越大。由多项指标进行综合评价时，则要以各项指标的总变差来说明样本在多维空间的相对地位。然而在将单项变差综合为总变差时产生了以下问题：（1）评价指标量纲往往不同，变差不能直接综合；（2）指标间往往存在一定相关关系。由此即使消除量纲影响后再综合，也会有信息重复；（3）在综合时如何确定各指标的权数。此外，如果评价指标较多，应该在变差信息损失较少的前提下减少工作量，也就是降维的问题：用较少的新变量，代替较多的原变量。主分量法正是在这些方面显示了其特点。 主分量分析（principal component analysis）是分量分析的一种，也叫主成份分析、主轴分析。它是一种应用范围较广的多元统计分析方法，进行多指标综合评价是主分量法的主要应用场合之一。 2、主分量分析的基本思想 我们先在二维空间中说明主分量法的基本思想 在两维空间（即两个指标来衡量n个样本点）中，n个样本点之间的变量信息若用离差平方和表示，则综合评价时的总变差为： 如果与两个数值差不多，说明两个指标在变差总信息量中的比重相当，综合评价时，两个指标都不可舍弃。 如果找到、的一个适当的数学变换F1和F2，满足： = 式中，表示新变量的均值，表示新变量的均值。 上式说明这种变换使新变量F代表了原变量X的信息。 如果与的比例为4：1，这说明只用新变量，就反映了原样本信息80%，这时仅用来分析原问题就可以了。总之，在变差总信息量中的比例越大，新变量在综合评价中的作用越大。可以把与称为原变量（观测指标）线性组合后的分量，显然就成了主分量。 主分量分析恰是通过适当的数学变换，使新变量——分量成为原变量的线性组合，并寻求主分量来分析事物一种方法。 3、主分量分析用于多指标综合评价的基本内容 设：F代表分量，X代表原变量，Z代表标准化后的变量，i代表各被评价样本，j代表各评价指标，g代表各分量，代表第i个样本，j个指标数值，代表第i个样本的第j个标准化指标的数值，表示第i个样本第j个标准化指标的分量系数，表示第i个样本的第g个分量。即有： i =1，2，…，n j =1，2，…，p g =1，2，…，p 其中：cov（Fg，Fg+k）=0 k≠0 g+k≤p 就是说各个分量间是相互独立的。 实施变换前后的总方差（与离差平方和一样说明变差信息量）是相等的，这说明原指标代表的变差信息已由各分量来表示。 数学上已以证明，Xij的协方差矩阵（∑）的特征根g即是主分量分析中第g个分量的方差，而g对应的特征向量即是第g个分量Fg中Zij的各个系数Lij（要求）。 然而在分析实际问题时，通常不直接将X变换成分量，而是将之标准化后再进行主分量分析。由于标准化变量的协方差矩阵等于其相关矩阵，于是，求协方差矩阵的特征根及特征向量可以转化为对相关矩阵R求解，有了特征向量作为系数，就完成了由X→Z→F的变换。 再将各个分量Fig用适当形式综合起来，我们就可以得到对每个样本点的一个综合评价值，依据它就可以对各样本排序，满足多指标综合评价的要求。 数学上还证明，主分量分析中各分量是按照方差大小依次排列顺序的，即g＞g+1，这说明，第一分量代表的原变量变差信息最多，第二分量次之，最后一个分量代表原变量的信息最少，往往近乎于零。由此，我们在分析实际问题时，可以舍弃一部分分量，只取前K个分量来代表原变量，在满足分析问题的精度要求的前提下，减少工作量。 对原变量实施适当的变量代换后，原来相关的X可变成互相独立的Z，这样就有助于消除变量间相关对综合评价的信息重复影响。而且，在变换过程中，还为分量的综合提供了自身的权重系数（Lij和），这些都有助于更科学地对事物进行多指标综合评价。 4、主分量法应用于多指标综合评价时的适用范围 并不是任何多指标综合评价问题都可以用主分量法解决的。我们从指标数据间的关系来分析其应用场合。一般来说，指标数据间关系按其相关程度有以下几种情况： 一种情况是n个变量完全相关。此时将n-1个变量删除，也可以对被评价对象作出排序，无需那么多变量，也就谈不上用主分量法了。比如两个变量x1与x2完全线性相关，即有x1=a+bx2，这时，x2有一个值，x1就有一个确定值，x2与x1提供的信息是完全重复的。只有其中一个就可以对被评价对象作出说明了。 再一种情况是n个变量完全不相关。此时不可能将它们压缩为更少的变量，主分量分析的出发点通常是变量的相关矩阵，如果变量间完全不相关，相关矩阵为对角阵，主分量分析的相关作用也就无从谈起了。 还有一种情况是n个