(选修)第一章概率与统计离散型随机变量的期望与方差.docVIP

题目 (选修Ⅱ)第一章概率与统计 　　了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差 1平均数的计算方法 （1）如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么=（x1+x2+…+xn）叫做这n个数据的平均数，读作“x拔” （2）当一组数据x1，x2，…，xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a，那么，= +a （3）加权平均数：如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1+f2+…+fk=n），那么 = 2方差的计算方法 （1）对于一组数据x1，x2，…，xn， s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2］ 叫做这组数据的方差，而s叫做标准差 （2）方差公式: s2=［（x12+x22+…+xn2）－n2］ （3）当一组数据x1，x2，…，xn中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a 则s2=［（x1′2+x2′2+…+xn′2）－n］ 3数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望． 　　4 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 5 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 6 期望的一个性质: 7 方差: ＝＋＋…＋＋…． 衡量数据波动大小的量方差越大数据波动越大 8 标准差: 的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作． 9方差的性质： ； 10二项分布的期望： 二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)． ξ 0 1 … k … n P … … Eξ=np, np(1-p) 11几何分布的期望和方差： 几何分布： g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ． ξ 1 2 3 … k … P … … 令 ， 如：某射击手击中目标的概率为p求从射击开始到击中目标所需次数的期望、方差就是 ， 题型讲解 例1 是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是 A= B= C=a+b D= 分析：这100个数的平均数是a+b还是（a+b），这都很容易让人误解我们可以从概率或加权平均数的角度来思考 解： 因为x1+x2+…+x40＝40a，x41+x42+…+x100 =60b， 所以x1+x2+…+x100＝（x1+x2+…+x40）+（x41+x42+…+x100）＝ 40a+60b 故x1，x2，…，x100的平均数 =（40a+60b）=a+b 答案：A 例2 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是_____________ 解：同时取出的两个球中含红球数 ( 的概率分布为 P(( = 0) ==, P(( = 1) ==, P(( = 2) == E( ==, 所以应填 例3 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2） 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 98 99 101 10 102 乙 94 103 108 97 98 其中产量比较稳定的小麦品种是 解：∵ = ( 98 + 99 + 101 + 10 + 102) = 100， =( 94 + 103 + 108 + 97 + 98) = 100; = ( 982 + ?+ 10022) – 102 = 002， = ( 942 + … + 982) – 102 = 0244 002 ∴ ，故产量比较稳定的小麦是甲品种 例4 对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下： 　　27，38，30，37，35，31； 　　33，29，38，34，28，36 　　 　　分析与，然后加以比较，最后再作出判断 　　解 ， 　　 　　 　　 　　，， 　　 　，，且和的分布列为： 0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人谁的技术水平更高 解： 　 　　，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当 　又 　　　 　　　，说明工人乙的技术比较稳定 　　　可以认为工人乙的技术水平更高 例6 若随机事件A在1次实验中发生的概率为，用随机变量表示A在1次实验中发生的次