映射及其运算.docVIP

1.2 映射及其运算 1.2.1 特殊映射 定义1.7 设是集合到的映射，若对中任意元素均有，则称是集合上的恒等映射，记作 定义1.8　　设，若ran，则称为从的满映射． 若由，就推出 则称为从A到B的单映射． 若既是单映射，又是满映射，则称是A到B的双射(或一一映射)． 例如， (1) :Z→Z 就是Z→Z的单映射． 　　(2)若R表示实数集合,B表示非负实数集合,则 就是R到B的满映射． (3)若R+表示正实数集合,R表示实数集合,则 就是R+→R的一一映射． 1.2.2 映射的合成 如果，，那么连续执行的映射，它的总效果就是把集合Ａ中元素变成集合Ｃ中元素c，这就构成了从Ａ到Ｃ的映射．记作（或称为的乘积，简记为），其具体规定如下： 例如，若 则 如果集合A,B,C都是数的集合,那么，就都是函数,而就是复合函数． 例如，当Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝Ｒ为实数集合时， 则就是复合函数． 如果，若存在一个映射使得 则称是可逆映射，的逆映射，记为． 显然映射是可逆映射的充分必要条件是：的一一映射，且逆映射是惟一的．例如，若 则 1.2.3 置　　换 如果Ａ是有限集合，是A到A的映射，则称为A上变换．当是A到A的双射时，则称是Ａ上的置换．特别是当时，则Ａ上的置换可写为 这里，，…，是n个数码1，2，…，n的一个排列． n个数码的置换在伽罗瓦理论中起重要作用，这里我们简单介绍相关定理． 当Ａ＝｛1,2,3｝时,则A上共有3!=6个置换,它们是 两个置换的合成可见下例： 实际上这里 每一个置换都有惟一的逆置换 例如 显然n个数码的所有置换之间有乘法运算，且每一个置换都有逆置换，因而它们构成一个置换群（群的概念可见于任何一本近世代数书） 若置换 中排列，，…，是奇排列，则称为奇置换；若是偶排列，则称为偶置换． 定义１.9　　若是n个数码的一个置换，是１,2,…，n中的r个数码，如果 而对其他数码有则称是长为r的轮换，记为 显然有 =… 这里称为轮换可搬动元素. 如果两个轮换与设有共同可搬动元素,则称与为不相交的轮换． 定理1.3 每一个置换均可写成若干个不相交轮换的乘积． 例如 实际上任意一置换 这里至少有一个，则从１一直变到k就是一个轮换，然后再从第２个元素开始（第一个轮换未搬动元素）又得一轮换，…（证明略．） 只有两个数码的轮换称为对换．例如 （i j） 对于每一个轮换 所以有如下重要结论． 任意一个置换都等于若干个对换的乘积． 由于 所以，一个置换乘一个对换便改变了置换的奇偶性． 定理1.4　奇置换只能分解成奇数个对换的乘积，偶置换只能分解成偶数个对换的乘积． 因为对换 恒等置换 所以，若 为偶数个对换的乘积，则的右边依次乘 得恒等置换；而恒等置换为偶置换，所以乘偶数个对换变为偶置换，即偶数个对换的乘积是偶置换． n个数码的有置换共有n！个，它们之间有乘法运算，因而构成群，称之为置换群，用表示．所有偶置换集合也构成群，用表示． 1.2.4 有限集合与无限集合 前面已经讲过有限集合，下面我们给出有限集合的严格定义． 定义1.10　　如果两个集合Ａ与Ｂ之间存在一个一一映射，则称这两个集合是等价的，并称它们具有相同的势． 对于自然数集合Ｎ的一部分集合｛1,2,…,n｝我们称之为自然数的一个片断，用表示． 定义1.11　　与自然数的一个片断等价的集合Ａ称为有限集合，其中集合Ａ的势为n，或者说Ａ有n个元素． 空集也称为有限集合，它的势为０．由于集合的等价具有传递性，所以所有与有限集合等价的集合都是有限集，否则为无限集合． 定理1.5　　有限集合不能与其真子集合等价． 证明　　对于空集Ａ,A没有真子集，所以命题正确；若Ａ与等价，即Ａ只有一个元素，则Ａ只有一个真子集合——空集，Ａ不能与空集等价． 下面我们对自然数n实行归纳证明． 若集合Ａ与自然数片断等价，且Ａ与其真子集合Ｂ等价． 设，不妨设（Ｂ是非空集合），因为若，则可将Ｂ中任意元素b去掉，代入即得新集合，Ｂ与等价，且是Ａ的子集合，所以Ａ与等价． 另一方面，若f是Ａ→Ｂ的一一映射，不妨假定 ； 否则，若 ， 只要令新的映射 对其余元素的映射与f一致即可．这时新的映射满足 ． 这样一来是一个与等价的集合，它与 这个真子集合等价，显然与归纳假设矛盾． 由上述定理，显然可得如下推论，我们不加证明． 推论１　有限集合的子集合是有限集合． 推论２　若Ａ是无限集合，，则Ｂ是无限集合． 推论３　若集合Ａ与其真子集合等价，则Ａ是无限集合． 康脱把上述推论当成无限集合的定义： 若：Ｎ→Ｎ 则是自然数集合Ｎ到其真子集合｛2,3,…,n,…｝的一一映射，所以自然数集合是无限集合． 我们把与自然数集合等价的集合称为可数集合． 下面给出无限集合的两个定理． 定理1.6　　任意无限