扈志明-微积分B（1）第6次习题课（微分中值定理与罗比达法则）答案（2014）.pdfVIP

2014 年年 11 月月 年年 月月 微积分微积分 B(1)第六第六次习题课次习题课参考答案参考答案 （第（第九周）九周） 微积分微积分 第第六六次习题课次习题课参考答案参考答案 （第（第九九周）周） 一、微分中值定理一、微分中值定理 一一、微分中值定理、微分中值定理 x 2 1．证明方程2 + 2x + x − 1= 0 至多有两个不同实根． 证明证明：（罗尔定理） 证明证明 x 2 假设方程2 + 2x + x − 1= 0 有三个不同实根，根据罗尔定理可知，方程 2x ln 2 + 4x + 1= 0 至少有两个不同实根，方程 x 2 2 (ln 2) + 4 = 0 至少有一个实根． x 2 但2 (ln 2) + 4 4 ，所以矛盾． x 2 故方程2 + 2x + x −1 = 0 至多有两个不同实根． a a an 2 n 2 ．已知a + 1 + 2 + ⋯+ = 0 ，证明方程a + ax+ a x + ⋯+ a x = 0 至少有一个实根． 0 0 1 2 n 2 3 n+1 证明证明：：（Rolle 定理） 证证明明：： a1 2 a2 3 an n+1 令f (x) =ax + x + x + ⋯+ x ，则f (x) 可导且 0 2 3 n+1 f (0) = 0, f (1) = 0 ． ′ 根据罗尔定理可知，存在ξ ∈(0,1) 使得f (ξ ) = 0 ，即 a + aξ + aξ 2 + ⋯+ aξ n = 0 ． 0 1 2 n 2 n 所以方程a + ax+ a x + ⋯+ a x = 0 至少有一个实根． 0 1 2 n 3 ．设函数f (x) 在 [ab, ] 上连续，在 (ab, ) 内可导，且f (a) = f (b) = 0 ．求证：∀α ∈R ，