一基础知识椭圆的定义.docVIP

第六节 椭圆 一．基础知识：椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质 椭圆的图象和性质 数学定义式 |MF1|+|MF2|=2a 焦点位置 x轴 y轴 图形 标准方程 焦点坐标 F1((c, 0 ), F2( c, 0 ) F1(0, (c, ), F2( 0, c ) 焦距 |F1F2| = 2c 顶点坐标 ((a, 0 ), ( 0, (b ) (0, (a ), ( (b, 0 ) a, b, c的关系式 a2 = b2 + c2 长、短轴 长轴长=2a, 短轴长=2b 对称轴 两坐标轴 离心率 ( 0 e 1) 说明： 1．定义和方程的关系：若| PF1 | + | PF2 | = 26, 其中F1、F2如下所示，写出动点P的方程 （1）F1( (12, 0 ), F2( 12, 0 ) （2）F1( 0, (12 ), F2( 0, 12 ) 2．椭圆焦点位置的判断：, 3．根据方程求基本量：根据下列方程写出椭圆的焦点、顶点坐标，长、短轴的长和离心率 （1） （2） 例1．求下列椭圆的标准方程 （1）焦点坐标为((3, 0 ), 短轴的长等于8 （答：） （2）焦距为8, a =, 焦点在y轴上 （答：） （3）离心率为, b = 3 （答：或） 例2．画出下列椭圆的图形 （1） （2） 二．常用解法：椭圆定义的应用，离心率与角度的关系，中心不在原点的椭圆方程 例3．设点F1、F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，求△PF1F2的周长. 解：∵ a = 5, b = 3 ( c = 4 ∴ △PF1F2的周长= |PF1| + |PF2| + |F1F2| = 2a + 2c = 2( 5 + 4 ) = 18 例4．已知三角形ABC的两个顶点是A( 0, 2 ), B( 0, (2 ), 三角形的周长是10，求顶点C的轨迹方程. 解：∵ |AB| + |AC| + |BC| = 10, 且|AB| = 4 ∴ |AC| + |BC| = 6, 即知顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆 而 2a = 6 ( a = 3, c = 2, 即b2 = a2 ( c2 = 5 ∴ 顶点C的轨迹方程是： ( x ( (2, 去掉A、B两点) 例5．已知椭圆一焦点与短轴两端点连线的夹角为90(，求椭圆的离心率. 解：∵ |FO| = c, |OA| = b, |AF| = a ∴ 在△AOF中, , ( = 45( ( cos45(= ∴ 椭圆的离心率e = 说明：离心率与角度关系： 例6．已知椭圆的右焦点F( 3, 0 ), F到右顶点距离为3, 求椭圆的方程. 解：∵椭圆的右焦点F到右顶点距离为：a (c = 3 ( a (3 = 3 ( a = 6 ∴ b2 = a2 ( c2 = 27 ∴所求椭圆方程为： 思考：若椭圆两焦点把长轴三等分，a与c之间满足什么关系式？你能求出椭圆的离心率吗？ 例7．画出曲线4x2 + 9y2 (8x + 18y (23 = 0的图象. 并求它们的焦点坐标，对称轴方程. 解：先把方程配方: 4( x (1 )2 + 9( y + 1 )2 = 36 令 x’ = x (1, y’ = y +1, 即把坐标原点平移到O’( 1, (1 ) 方程可化为: ∴ a = 3, b = 2, 其图形如图所示. 又∵在新坐标系中，焦点坐标是((, 0 ), 对称轴：x’ = 0, y’ = 0, 准线方程： ∴ 在原坐标系中，焦点( 1 (, 0), 对称轴方程：x ( 1 = 0, y + 1 = 0 说明： ① 利用坐标轴平移化简方程：先配方为f( x ( a, y (b ) = 0的形式，再令：x’ = x ( a, y’ = y (b, 即可化简方程. ② 利用平移公式x’ = x (1, y’ = y +1求焦点、对称轴及准线 练习： 1．已知P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若|PF1| = 6，求|PF2|. 2．在△ABC中，BC = 24，周长为50，求顶点A的轨迹方程. 3．中心在原点，长轴在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，求椭圆方程. 4．写出曲线4x2 + 9y2 + 8x (36y + 4 = 0的焦点坐标、离心率. 5．以椭圆的两个焦点为直径端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，求椭圆的离心率 三．综合应用： 例8．椭圆的长轴是短轴的3倍, 过点P( 3, 0 ), 求椭圆的标准方程 解：设所求椭圆方程为和 ∵ 2a = 3(2b) ( a = 3b, 点P( 3, 0 )在椭圆上, 分别代入以上方程 ( b2 =