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研究性学习：分期付款问题的再研究 长沙市第十二中学 谢品球 教学目标（知识、能力、品德） 知识目标：理解递推关系an+1=pan+q转化为bn+1=pbn的方法和思路，会用待定系数法求递推关系an+1=pan+q给出的递推数列的通式；能把实际问题转化为数学问题，掌握与递推关系an+1=pan+q有关的一类数学应用型问题的解法。 能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力，学会思考，学会归纳，学会探索，学会深化。在学习的基础上研究，在研究的过程中拓展。 德育目标：培养学生不怕困难，深入钻研的个性品质；向学生渗透联系的观点、发展的观点。 教材分析（重点、难点） 重点：掌握用递推关系an+1=pan+q给出的数列的通式的求法； 掌握一类数学应用题的解法。 难点：研究性学习的思路、方法，把问题题转化的策略。 教学操作过程设计（重点写怎么教和学法指导，含课练、作业安排） 一、课题的引入 在高一第二章的研究性学习中，我们曾经用数列知识研究了近年生活中的一个热点问题——分期付款问题。最近我就遇到了一个这样的问题，想请同学们帮忙解决： 问题：我的一位朋友今年年初向银行贷款2万元用于房屋装修，商定年利率为10%，并按复利计算，若这笔贷款分15次等额归还，从借款一年后开始归还，每年年初还一次，15年还清，请大家帮忙计算这位朋友每次应还多少？（1.114＝3.7975,1.115＝4.1772,要求结果精确到10元） 二、研究性学习 1、知识建构 例1、已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1。 （1）求证：{an+1}是等比数列，（2）求数列的通式a n. 例2、已知数{an}中，a1=1，an+1=0.5an+1，则a n= . 在分析过程中强调三点： 1、转化化归的思想，把an＋1=pan+q转化为bn+1=pbn； 2、类比的思想：把an＋1=pan+q变到bn+1=pbn与函数y=kx+b到 y′=kx′的平移变换类比； 3、分类讨论的思想：由递推关系an+1=pan+q给出的数列，当p、q取不同的值时，得到的是不同的数列。 研究成果1、由递推关系：an+1=pan+q给出的数列。 当p=1时，{an}是等差数列； 当p=0时，{an}是常数列； 当p≠1且p≠0, q=0时，{an}是一个等比数列； 当p≠1且p≠0, q≠0时，如果存在常数c使an+1+c=p(an+c)，且a1+c≠0，则：数列{an+c}是等比数列，公比为p，首项为a1+c，其通项公式为：an=(a1+c)pn-1-c. 2、知识运用： ①分期付款问题中是否存在一列数量构成一个数列？若存在，是什么量？ ②它们的相邻项之间有着怎样的数量关系？ ③全部还清贷款对于这个数列来说传递了一个什么信息？ ④怎样得到这个数列的通式？ 研究成果2：如果在银行的贷款总数为a0，第k次还款后的欠款数为ak，第k+1次还款后的欠款数为ak+1，则有：ak+1=ak(1+p)-x，到期后全部还清，则an=0.其中，n是还款次数，p是贷款的利率（计复利），x是每次还款数. 解：设每年应还x元，第k年还款后欠款数为ak，第k+1年的欠款数为ak+1，则有ak+1=ak(1+10%)-x.即ak+1=1.1ak-x， a1=20000×(1+10%)－x=22000－x. 设ak+1+c=1.1(ak+c)，则有：c=-10x， 所以：{an-10x}是等比数列，且首项为a1-10x=22000-11x，公比为q=1.1 故：an=(22000-11x)×1.1n-1+10x. 依题意：a15=0，即(22000-11x)×1.114+10x=0，解得：x=2630（元） 备注：解题的要点是把解决问题的着眼点放在研究相邻项之间的关系上。 2、知识迁移： 迁移1、解一类应用题： 例3、（02全国）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少万辆. 解：设2001年的汽车保有量为a1＝30，第n年的汽车保有量为an. 每年新增x万辆，故an+1=an(1－6%)+x，即an+1=0.94an+x. an+1－=0.94(an－) ∴an=(30－)×0.94n-1+ 依题意：an≤60恒成立，即(30－)×0.94n-1+ ≤60对n∈N+恒成立. 当30－≥0时，an≤an－1≤…≤a1≤60 ∴0＜x＜1.8 当30－＜0时，an单调递增，an＜ ∴≤60 ∴1.8＜x≤3.6 综上所述有0＜x≤3.6. 故每年新增的汽车数不得超过3.6万辆. 备注：1、解数列应用题：①有一列关于n的量构成数列；②关注这个数列的相邻项的关