高三数学第二轮专题复习—直线与圆锥曲线练习.docVIP

金太阳教育网 高三数学第二轮专题复习——直线与圆锥曲线练习 一、选择题 1．斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( ) A.2 B. C. D. 2．抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题 3．已知两点M(1，)、N(－4，－)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0, ②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________. 4．正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_________. 5．在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p. (1)求a的取值范围. (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N， 求△NAB面积的最大值. 7．已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6). (1)求双曲线方程. (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论. 8．已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称. (1)求双曲线C的方程. (2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标. 直线与圆锥曲线参考答案 一、1.解析：弦长|AB|=≤. 答案：C 2.解析：解方程组,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,代入验证即可. 答案：B 二、3.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点. 答案：②③④ 4.解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长. 答案：18或50 5.解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2). 即kAB=8. 故所求直线方程为y=8x－15. 答案：8x－y－15=0 三、6.解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2 又∵p＞0,∴a≤－. (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y), 由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p, 则有x==p. ∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0） 点N到AB的距离为 从而S△NAB= 当a有最大值－时，S有最大值为p2. 7.解：(1)如图，设双曲线方程为=1.由已知得,解得a2=9,b2=12. 所以所求双曲线方程为=1. (2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0）， ∴其重心G的坐标为(2，2） 假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有 ，∴kl= ∴l的方程为y= (x－2)+2, 由,消去y,整理得x2－4x+28=0. ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在. 8.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1. 即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，). ∴a==b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2. (2)设直线l：y=k(x－)(0＜k＜1,依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为. 设直线l′：y=kx+m,应有,化简得m2+2km=2. ② 把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0, 由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0. 可得m2+2k2=2 ③ ②、③两式相减得k=m,代入③得m2=,解设m=,k=,此时x=,