第二章 杆件系统的有限元法.pptVIP

2.3.5 刚度存储与节点排列 对于杆件系统而言，若铰支杆数量较多（假设为n），则刚度矩阵的为2n×2n阶，在实际工程中，铰支杆件甚至达到数千个，如此则计算量巨大，需要对刚度矩阵数据量进行压缩。 利用刚度矩阵的三个特性： 对称性 稀疏性 带状分布 第二章 杆件结构的有限元法 2-1 引言 2-2 弹簧系统的刚度矩阵 2-3 杆件系统的有限元法 结构有限元分析----目录 本章小结 从弹簧系统的分析出发，基于材料力学原理推导了铰支杆系的有限元计算格式。这种直接从系统物理概念和力学原理推导有限元计算格式的方法叫做直接刚度法。 单元的刚度矩阵和系统的总刚度矩阵是对称矩阵，且对角线尚元素均为正。未引入边界条件的总刚度矩阵是奇异的。 总刚度矩阵可以由各单元刚度矩阵按节点编号叠加而成。 总刚度矩阵存储可以进行数据压缩。 1.弹簧单元的刚度矩阵： 2.弹簧系统的刚度矩阵： 3.杆件单元的刚度矩阵： 4.杆件系统的刚度矩阵： * 一维杆件系统的刚度矩阵 *已知单个杆件单元的刚度矩阵，如何直接叠加出多个杆件系统（一维）的总刚度矩阵？ 由于整个系统有3个结点，将上述方程扩大成3阶方程，有： 矩阵相加： 一维杆件系统的刚度矩阵 总结： 1 直接刚度法、位移法 2 结点力、结点载荷 结点力是结点对单元的作用力； 结点载荷是指作用在结点上的外载。 3 一维杆件系统刚度矩阵叠加 公共结点刚度相加 2.3.3 平面问题坐标变换 在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量 可分别表示成 对于梁单元如图所示，则有 可简写为矩阵形式 同理 写成矩阵形式 式中 ——平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。 * 力与位移坐标转换关系 对于转换矩阵，令cosα=λ, sin α =μ，则有 2.3.4 整体坐标系下的单元刚度矩阵 局部坐标系下 带入转换矩阵 整体坐标系下，力与位移关系 单元刚度矩阵在整体坐标系和局部坐标系下的转换关系 代入转换矩阵和局部坐标单元刚度矩阵，得整体坐标系下刚度矩阵： 此为对称矩阵，并且可以看做4个子矩阵组成 因此，得到杆件系统整体坐标系下的力与位移方程 对于各节点位移，每个杆的受力与其两端节点位移相关： 在总体坐标系（全局坐标系）下得到杆件单元刚度矩阵之后，可以将刚度矩阵叠加起来，得到整个杆件系统的刚度矩阵： 在全局坐标系内，任意节点相连的各单元，在此节点处的位移是相同的，它们对该节点的作用力与外载荷达到互相平衡。 得到整个杆件系统的平衡方程： 注意到这里的F是节点载荷而不是节点力，节点载荷是指节点处受到的外载荷，而节点力是各单元节点处受到的内力。 边界条件的处理： 得到的杆件系统的刚度矩阵是奇异的，因此，它的逆矩阵不存在，所以我们从得到的系统平衡方程是无法得到位移解。在这种情况下，需要引入边界条件。从物理意义上而言，需要提供某些支承约束来保持物体或结构在载荷作用下的平衡，否则承载物体或结构就会自由地进行刚体运动。 矩阵方程的求解，可分为直接求解法（如高斯消去法、肖元法、三角分解法）和迭代解法（如高斯-赛德尔迭代、超松弛迭代） 例题：如图2.6所示的三杆钢桁架，节点1、节点3处固定，节点2处受力 ，所有杆件材料相同，弹性模量为E，截面积均为A，求各杆受力。 解：系统有三个杆件，包含三个节点，一共包含了6个自由度，并且有 对于各个杆件而言，其刚度矩阵可直接给出，对于各杆，其参数为： 可以得到杆单元1-3的刚度矩阵 采用刚度矩阵叠加得到整个系统的刚度矩阵： 建立力与位移方程： 上述方程可以简化为求解： 求解节点2处的位移： 得到各节点力方程： 计算得到各杆内力： （二）例题 平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求： 1）节点2位移 2）每根杆应力 解： 求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵： 单元1：1-2 单元2：2-3 将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件： 再引入边界约束和载荷： 则上面6阶有限元方程凝聚为： 解出未知位移得： 按公式计算杆应力： 得： 例题2：如图所示三根杆子组成的简单桁架结构，节点编号及单元的几何、物理参数见图，求结点1的位移、各杆内力、支座反力。 杆1-2，1-3，1-4单元刚度矩阵 根据所建立的三个杆件单元刚度矩阵组装成总刚度矩阵： 管路系统功能与动强度设计分析与评估 有限元法 有限元法 管路系统功能与动强度设计分析与评估 管路系统功能与动强度设计分析与评估 有限元法 河南科技大学 规划与建筑工程学院 第二章 杆件结构的有限元