数值分析4.1 引言及Langrage插值法.pptVIP

截断误差Rn(x)=f (x) -Ln(x)也称为n次Lagrange插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。 定理2 设 f (x) 在区间 [a ,b]上存在 n+1 阶导数, xi∈ [a, b] (i=0,1, …, n) 为 n+1个互异节点, 则对任何x∈ [a ,b], 有 4.2.3 插值余项 且与x有关) 证 由插值条件和?n+1(x) 的定义, 当x=xk 时 , 式子显然成立, 并且有 ?n+1(xk)=0 ( k=0,1,…,n ), 这表明x0 , x1, … , xn 都是函数Rn(x)的零点, 从而 Rn(x)可表示为 其中K(x)是待定函数。 对于任意固定的x?[a,b], x?xk ,构造自变量 t 的辅助函数 由式 ?n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk ( k=0,1,…,n ),以及 可知：x0 , x1, ? , xn 和 x 是?(t) 在区间[a,b]上的 n+2个互异零点, 因此根据罗尔 (Rolle) 定理, 至少存在一点 ? =?(x) ?(a,b),使 即 所以 估计误差式： 的抛物插值多项式,且计算f (3)的近似值并估计误差。 例3 设 解 插值多项式为 因为 故 于是 用二次插值计算 ln11.25 的近似值,并估计误差. 例4 给定函数表 x 10 11 12 13 lnx 2.302585 2.397895 2.484907 2.564949 解 取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有 ln11.25?L2(11.25) 在区间[10,12]上lnx 的三阶导数的上限 M3=0.002, 可得误差估计式 实际上,ln11.25=2.420368, |R2(11.25)|=0.000058. * 上页 下页 第4章 插值法 4.1 引言 4.2 Lagrange 插值 4.3 Newton 插值 4.4 Hermite 插值 4.5 分段多项式插值 4.6 三次样条插值 问题的提出 在科学研究和工程计算中，经常要研究变量之间的函数关系，但是在很多情况下，又很难找到具体的解析表达式，往往只能通过测量或者观察，获得一张数据表，即 4.1 引言 这种用表格形式给出的函数，无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质，如函数的导数及积分等。为了解决这些问题，我们设法通过这张表格求出一个简单的函数P(x) 这种求P(x)的方法称为插值法。 使 4.1.1 插值问题 设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0, 1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一个次数不超过n的多项式Pn(x)使其满足 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) (4-1) 这就是多项式插值问题. 4.1 引言 其中Pn(x) 称为 f(x) 的n次插值多项式, f(x) 称为被插函数, xi(i=0,1, ...,n)称为插值节点, (xi, yi) (i=0,1, … ,n) 称为插值点, [a,b] 称为插值区间, 式(4-1)称为插值条件。 从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线 y=Pn(x), 使它通过已知的n+1个点(xi,yi) (i=0,1, … ,n),并用Pn(x)近似表示f(x). 即 P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn 其中ai为实数，就称P(x) 为 插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值，若P(x)为三角多项式,就称为三角插值，本章只讨论插值多项式与分段插值。 本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛性及误差估计等。 定理1 设节点 xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n)的次数不超过n的多项 式存在且唯一. 证 设所求的插值多项式为