数值分析ppt第3章_函数逼近与曲线拟合.ppt

解 由公式有 再由公式得 例4 求 在 [0,1]上的最佳一次逼近多项式. 又 ，故 ，解得 于是得 在 [0,1]上的最佳一次逼近多项式为 即 误差限为 在上一式中若令 ，则可得一个求根式的公式. 证明： 由f(x)的连续性知， 使得 令 则 例、设f(x)∈C[a, b]，m, M是f(x)在[a, b]上的min, max值，证明f(x)的零次最佳一致逼近多项式为 即 即当f(x)∈C[a, b]时，f(x)的零次最佳逼近多项式为. 故x1, x2是P0(x)与f(x)的偏差点，从而由 chebyshev 定理知 3.4 最佳平方逼近 3.4.1 最佳平方逼近及其计算 现在我们研究在区间[a, b]上一般的最佳平方逼近问题. 对f(x)∈C[a, b]及C[a, b]中的一个子集 若存在函数 ，使下式成立 则称 S*(x)是f(x)在子集 中的最佳平方逼近函数. 为了求S*(x), 由上式可知该问题等价于求多元函数 的最小值. 由于I(a0,a1,…,an)是关于a0,a1,…,an的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件 即 于是有 是关于a0,a1,…,an的线性方程组，称为法方程，即 由于函数组 线性无关，故系数矩阵的行列式非零，即 从而得到最佳平方逼近函数 于是方程组有唯一解 下面证明S*(x)必定满足最佳平方逼近的定义，即 但我们只需证明 为此我们只要考虑 由于S*(x)的系数ak*是法方程的解，故 从而上式第二项积分为0. 于是可得 即得S*(x)必定是所求函数f(x)的最佳平方逼近函数. 根据以上推论，也可得出最佳函数逼近的求法。 由证明第二项积分为0. 我们可得 推论：C [a, b]是内积空间，φ∈C[a, b]是其有限维子空间，f(x)∈C[a, b]，φ中S*(x)是f(x)的的最佳平方逼近函数的充要条件是f -S*与φ中任一函数正交. 设 则对任意函数S∈φ，有 由推论得 也得法方程为 若记余项δ(x)=f(x)-S*(x)，则平方误差为 若取 则要在Hn中求n次最佳平方逼近多项式 此时 若用H表示 对应的矩阵，即 则称H为希尔伯特(Hilbert)矩阵，若记向量 则法方程为 其解ak= ak*(k=0,1,…,n), 即得所求最佳平方多项式为 的系数. 解 由公式有 得法方程组 例5 求 在 [0,1]上的一次最佳平方逼近多项式(注意与例4的区别). 解出 故得所求的一次最佳平方逼近多项式为 平方误差为 最大误差为 若用{1,x,…,xn}做基，求最佳平方多项式，计算简单，但当n较大时, 系数矩阵H是高度病态的(见第5章),因此直接求解法方程是相当困难的，故通常是采用正交多项式做基底构造最佳平方多项式. 解： 法方程组为： 于是 例 设 求2次最佳平方逼近多项式 解得 3.4.2 用正交函数族作最佳平方逼近 设f(x)∈C[a, b]， 若 是正交函数族，即满足 故法方程 的系数矩阵为非奇异对角阵，即 立刻得到法方程的解为 于是f(x)∈C[a, b]在φ中的最佳平方逼近函数为 可得均方误差为 由此可得贝塞尔(Bessel)不等式 若f(x)∈C[a, b], 按正交函数族 展开，而系数按下式计算得到 得级数 称为f(x)的广义傅立叶(Foureir)级数,系数 称为广义傅立叶系数. 它是傅立叶级数的直接推广. 证明略，可见文献[6]. 下面讨论特殊情况，设 是正交多项式 可由 正交化得到，则有下面的收敛定理. 定理7