研究生课程数值分析课件第七章第一部分.pptVIP

* * * 梯形公式的误差： Simpson公式的误差： * * * §3　复化求积公式 3.1复化梯形公式 x0 x1 x f(x) x2 h h x3 h h x4 * * 复合梯形公式： * 复合梯形公式： * 事实上， * 即分段用Simpson公式再求和可得复化Simpson公式. 3.2 复化Simpson公式 x0 x2 x f(x) x4 h h xn-2 h xn …... h x3 x1 xn-1 * 4 4 4 4 4 * 复化Simpson公式： * 复化Simpson公式： * 例：对于函数 给出n=8的函数表, 试用 复化梯形公式及复化Simpson公式计算积分 解： 0.0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1.0 1.0 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8414709 0.8771925 复化梯形公式 =0.9456909 复化Simpson公式 =0.9460832 准确值 I=0.9460831 * 等分数相同，即运算量基本相同时，复化Simpson公式比复化梯形公式精度高 * * 如果用复化梯形公式计算，则由误差公式 为了达到相同的精度复化Simpson公式比复化梯形公式的运算量小 * 复化梯形公式事后误差估计 * 复化Simpson公式事后误差估计 * 3.3 逐次分半算法 （一）梯形公式的逐次分半算法 * 递推公式: * （二）Simpson公式的逐次分半算法 为停步准则 为Simpson公式的逐次分半算法的事后误差估计公式， 实际计算时也可以 * 例：若用复化Simpson公式计算积分 问积分区间要等分为多少份才能保证计算结果 有4位有效数字？ * 0.0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1.0 1.0 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8414709 0.8771925 例:根据数据表 解: =0.9460869 =0.9460832 * 思考:从地面发射一枚火箭, 在最初80秒内, 记录其加速度如下表 t (秒) a (米/秒2) 0 30.00 10 31.63 20 33.44 30 35.47 40 37.75 50 40.33 60 43.29 70 46.69 80 50.67 试求火箭在第80秒时的速度. (并说明计算结果有 几位有效数字) * 习题 P257 4(2), 8, 10(1), 11, 12, 13(1) 16, 19, 21(3点公式) 第七章　数值微分与数值积分 * §1数值微分 * 1.1差商型求导公式： 向前差商公式 向后差商公式 中心差商公式 * 差商型求导公式的截断误差： * 二阶导数的中心差商公式： 二阶导数的中心差商公式的截断误差： * 1.2插值型求导公式： 用插值多项式的导数作为函数导数的近似，即 等距节点下的常用公式,见课本 * 1.3利用样条插值函数求数值微分 误差估计: * 定积分的图形表示 §2 Newton－Cotes求积公式 * 行星运行轨道:开普勒定律 行星在两点之间的运行距离 * 问题：如何构造数值积分公式？ * 积分中值定理: 2.1 数值积分的基本思想 * * 插值型求积公式 * 插值型求积公式的截断误差: * 2.2 Newton－Cotes求积公式 * * * 此求积公式称为n阶Newton-Cotes公式 * Cotes系数表 n 1 2 3 4 * x f(x) L(x) y * x f(x) h h L(x) y * x0 x1 x f(x) x2 h h L(x) x3 h y * 则称该求积公式具有m次代数精确度。 2.3 误差估计 （一）求积公式的代数精确度 * 结论： * ∴　梯形公式具有1次代数精确度 * ∴　抛物线公式具有3次代数精确度 * * * * （二）梯形公式与Simpson公式的误差估计 *