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4.6探索 多边形的外角和 边 顶点 内角 多(n)边形的内角和: （n-2）·1800 A B D C E 2 1 3 5 4 ★ 多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。 ★ 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 问题（一） 1.观察图中的5个角，你能发现它们有什么共同特征？ 2.你能给这样的角起个名字并下个定义吗？ 3.每个顶点处有几个这样的角？各有什么关系？ 小明跑完一圈，身体一共转过多少度？ A B D C E 2 1 3 5 4 ★ 多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。 ★ 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 问题（一） 1.观察图中的5个角，你能发现它们有什么共同特征？ 2.你能给这样的角起个名字并下个定义吗？ 3.每个顶点处有几个这样的角？各有什么关系？ 方法二: 剪拼法 方法一: 度量法 方法三: 推理法 A B D C E 2 1 3 5 4 小实验 问题（二） 1.你能利用这个实验来解释五边形的外角和是3600吗？ 问题（二） 2.根据实验，你能得到一种验证五边形的外角和是3600的方法吗？ A B D C E 2 1 3 5 4 8 C 7 B 6 D 9 O A E 10 小明是这样思考的： 过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA ′ 、OB ′ 、OC ′ 、OD ′ 、 OE ′ ,得到五个角∠6、 ∠7、 ∠8 、∠9 、∠10，根据这五个角的和就能求出∠1、 ∠2、 ∠3 、∠4 、∠5的和。你明白其中的道理吗？ 想一想： 如果小路围成的是六边形、八边形…… 任意多边形，还有类似的结论吗？ 多边形的外角和都等于3600。 问题（三） 1.多边形同一个顶点处的一个外角与内角有什么关系？ 2.你能利用以上关系以及多（n）边形的内角和推理出多（n）边形的外角和吗？ A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 An 答:因为多边形的外角与它相邻的内角之和是1800，所以n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n-2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n-2)·180° = 360°. 例 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，则它的内 角和是（n-2）·1800，外角和等于3600.由题意得 （n-2）·180=3×360 解得 n=8 答：这个多边形是八边形。 练一练 填空： 1.十边形的内角和是____，外角和是____。 2.正五边形的每一个外角等于____，每一个内角等于_____。 3.如果一个多边形的每个外角都等于60°,则这个多边形的边数是_____。 4.如图，小亮从A点出发，每前进10米就向右拐150，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时共走了_____米。 10米 10米 10米 10米 10米 150 150 150 150 A 14400 3600 720 1080 6 240 练一练 选择： 5.一个多边形每个外角都等于与其相邻的内角，这个多边形是（ ） 。 A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形 6.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（ ）。 A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形 A A