七年级数学下册 1.6 完全平方公式课件 (新版)北师大版.ppt

* 第一章 整式的乘除 6 完全平方公式 新知 完全平方公式 (1)完全平方公式的探索. ①两数和的平方：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a2＋ab＋ab＋b2(多项式乘法法则) ＝a2＋2ab＋b2(合并同类项)； ②两数差的平方：(a－b)2＝(a－b)(a－b) ＝a2－ab－ab＋b2(多项式乘法法则) ＝a2－2ab＋b2(合并同类项). (2)完全平方公式的内涵. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 这就是说，两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或者减去)它们积的两倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式. ① (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a－b)2＝a2－2ab＋b2都叫做完全平方公式. 为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式. 公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的两倍，二者也仅差一个“符号”不同； ②公式中的a，b可以是数，也可以是单项式或多项式. 【例1】计算： (1) (－x＋2y)2； (2) (－x－y)2； (3) (x＋y－z)2； (4) (x＋y)2－(x－y)2. 解析 此题需灵活运用完全平方公式： (1) 题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2，再运用差的完全平方公式； (2) 题可转化为(x＋y)2，再利用和的完全平方公式； (3) 题可利用加法结合律变形为[(x＋y)－z]2或[x＋(y－z)]2或[(x－z)＋y]2，再用完全平方公式计算； (4) 题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算. 解 (1) 方法1：(－x＋2y)2＝(2y－x)2＝4y2－4xy＋x2； 方法2：(－x＋2y)2＝[－(x－2y)]2＝(x－2y)2＝x2－4xy＋4y2； (2) (－x－y)2＝[－(x＋y)]2＝(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2； (3) (x＋y－z)2＝[(x＋y)－z]2＝(x＋y)2－2(x＋y)·z＋z2＝x2＋y2＋z2＋2xy－2zx－2yz； (4) 方法1：(x＋y)2－(x－y)2＝(x2＋2xy＋y2)－(x2－2xy＋y2)＝4xy； 方法2：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy. 【例2】用不同的方法计算： (1) (3x＋2y)2－(3x－2y)2； (2) (x＋y)2＋(x－y)2； (3) (a＋2b－c)(a－2b－c). 解析 (1)方法1：原式利用平方差公式计算即可得到结果； 方法2：原式利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果； (2)方法1：原式利用完全平方公式展开，合并即可得到结果； 方法2：原式配方后，计算即可得到结果； (3)方法1：原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式展开即可得到结果； 方法2：原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果. 解 (1)方法1： 原式＝[(3x＋2y)＋(3x－2y)][(3x＋2y)－(3x－2y)] ＝6x·4y＝24xy； 方法2： 原式＝9x2＋12xy＋4y2－9x2＋12xy－4y2＝24xy； (2) 方法1： 原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－2xy＋y2＝2x2＋2y2； 方法2：原式＝(x＋y)2＋2(x＋y)(x－y)＋(x－y)2－ 2(x＋y)(x－y) ＝[(x＋y)＋(x－y)]2－2(x＋y)(x－y) ＝4x2－2x2＋2y2＝2x2＋2y2； (3) 方法1： 原式＝(a－c)2－4b2＝a2－2ac＋c2－4b2； 方法2： 原式 ＝a2－2ab－ac＋2ab－4b2－2bc－ac＋2bc＋c2 ＝a2－2ac＋c2－4b2. 举一反三 1. 计算： (1) (a－2b)2； (2) (3a－b)2－(3a＋b)2； (3) (2x＋3y－1)(2x＋3y＋1)； (4) (a＋b＋c)2. 解：(1) 原式＝a2－4ab＋4b2； (2) 原式＝－12ab； (3) 原式＝4x2＋12xy＋9y2－1； (4) 原式＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 2. 若a＋b＝7，ab＝6，求(a－b)2的值.