点位位差极值方向计算公式的直接推导.docVIP

点位位差极值方向计算公式的直接推导 李伟东 林楠 张文春 吉林建筑大学测绘与勘查工程学院 X 关注成功！ 加关注后您将方便地在 我的关注中得到本文献的被引频次变化的通知！ 新浪微博 腾讯微博 人人网 开心网 豆瓣网 网易微博 摘????要： 文中根据点在任意方向的真误差的协因数计算公式, 利用极值条件中角度与坐标协因数之间的关系, 直接导出位差极大值、极小值方向的计算公式。该推导过程具有简单、直接等特点, 有助于对该知识点的掌握、理解和应用。 关键词： 误差椭圆; 点位位差; 极值方向; 协因数; 作者简介：李伟东 (1967-) , 男, 吉林敦化人, 副教授, 主要从事测量误差理论及变形监测等方面的研究。 收稿日期：2017-05-29 基金：吉林省高等教育教改研究课题 (JYT201602) Direct derivation of calculating formula based on extreme value direction of point difference Li Weidong Lin Nan Zhang Wenchun College of Surveying and Prospecting Engineering , Jilin Jianzhu University; Abstract： In the paper, according with the covariance formula of the true error of the point in any direction, the relationship between the angle and the coordinate covariance in the extreme condition was used to derive the calculation formula of the difference between the maximum value and the minimum value. Comparison with the related contents of current textbooks, the derivation process had characteristics such as simple, direct and etc., which helped students to master the knowledge, understanding and application. Keyword： error ellipse; point difference; extreme value direction; coordinate factor; Received： 2017-05-29 《测量平差基础》是本科测绘工程专业的核心课程。在误差椭圆一章, 现有教科书中关于平面点位位差的极大值、极小值所在方向的计算, 主要有两种途径:一是基于位差取得极值的条件, 结合Qxy与sin2φ的正负情况判断极大值 (极小值) 所在象限[1-3], 确定相应的极值方向;二是根据矩阵理论中实对称矩阵的Rayleigh商的极性性质[4], 通过求实对称矩阵特征值所对应的特征向量, 间接获得极大值、极小值方向的计算公式[5]。 实际上, 根据点位真误差在任意方向φ上的协因数计算公式, 结合该公式取得极值的条件中方向值与坐标协因数之间的关系, 利用不同三角函数之间的转换, 可直接推算得到点位位差极大值 (极小值) 所在方向的计算公式[6]。 1 公式推导 由测量平差理论可知, 若待定点P的坐标平差值协因数阵为: 则点位误差在任意方向φ上的协因数为: 若Qφφ的极值存在, 则极值方向φ0满足: 并由此可得协因数极大值QEE和极小值QFF为: 在此基础上, 现推导极大值与极小值方向的计算公式。 设QEE为极大值方向的协因数, 若φE为该方向值, 则由式 (2) 可知: 即: 进一步整理, 得: 两端同时除以Qxy, 有: 由式 (3) 可知: 且 带入式 (8) 得: 因 故 最后 此外, 还可以通过式 (5) 得: 整理后, 两端同时除以Qxy, 得: 由式 (9) 可得: 故 综合式 (11) 、式 (15) , 有: 进一步地, 若设QFF为极小值方向的协因数, φF为该方向值, 仿照上面的推导过程, 亦可得到: 此处不再赘述。 2 结语 上述点位位差极值方向的计算公式推导, 是直接利用点的真位差在任意方向的协因数计算公式, 结合极值条件中坐标协因数与极值方向的关系直接推算得到。公式推导过程中, 仅涉及到不同三角函数之间的简单变换, 其结果与根据实对称矩阵特征值的