液晶分子指向矢分布的数值求解.doc

 成都大学学报 (自然科学版 ) Jou rna l of Chengdu U n ive rsity (N a tu ra l Sc ience) 第 24 卷 第 3 期 2005年 9月 Vo l. 24 No. 3 Sep. 2005 文章编号 : 1004 - 5422 ( 2005 ) 03 - 0167 - 04 液晶分子指向矢分布的数值求解 贺容容 1 , 袁 飞 2 , 朱 彬 2 ( 1. 成都大学计算机科学与技术系 ; 2. 成都大学网络管理中心 , 成都 610106) 摘 要 : 根据连续弹性体理论对指向矢方程进行分析 , 对比研究了牛顿法 、模拟退火法和差分迭代法的优劣 . 采用 Gau ss - Se ide l差分迭代法 , 并结合 SOR 法中超松驰因子的适当选取 , 在 3V 的外加电压条件下 , 仅需少量 的迭代次数即可达到很高的精度 . 关键词 : 液晶 ; 指向矢 ; 数值计算 中图分类号 : 0183. 1 文献标识码 : A 0 引 言 液晶盒的双折射光学性质是液晶光学的基础. 较长一段时期以来 ,液晶材料的选择都是根据对光 学性质的实际测量或者由经验值来确定的 ,这些方 法并不适于对新型液晶盒的设计开发. 可以通过数 值计算对液晶材料的光学性质进行理论分析 ,为材 料的优选提供依据 [ 1 ] . 一般地 ,可由连续弹性体理 论得到指向矢分布的方程 , 求出 沿 液晶 盒厚 度 方 向的指向矢分布 ,再由此得到折射率分布 . 本文针 对外加电压情况下的扭曲向列 ( TN )型指向矢方程 进行研究 ,寻求快速 、简捷的数值解法 . 图 1 液晶分子的指向矢 1. 2 外电场作用下的液晶分子指向矢分布 外加电场使得液晶分子有沿外场取向或垂直 于外场取向的趋势 , 其规律在于 满足 吉 布斯 自由 能最小的状态. 大量液晶分子的分布趋势如图 2所 示. 外电场使得液晶的自由能增加 , 其增加量为 ΔFe,外场的作用使得液晶分子转向 , 从而引起弹 性能增加 , 其增加量为 ΔF t, 由能量守恒定律 , 应 1 分子指向矢的数学建模 1. 1 液晶的连续弹性体理论 液晶分子呈长条状 , 其指向矢的定义为在 液 晶相中某一点上的液晶分子在一相当长的时间内 指向的平均方向. 单位指向矢表示为 n^ ( x, y, z)或 n^ ( r) ,如图 1所示 ,其中 为扭角 ,θ为倾角. 大量液 晶分子的指向矢扭角 、倾角分别呈连续分布 . 在外场的作用下 , 液晶的基本弹性形变有 三 [ 3 ] 有 : ΔFe =ΔF t ( 2 ) 指向矢 在 外 加 电 场 作 用 下 的 空 间 形 变 和 重 新 排 种 :展曲 、扭曲和弯曲 [ 2 ] ,分别由弹性系数 K 、K 、 11 22 K33表征. 由这三种形变引起的总弹性能密度为 : 列 , 是吉布斯自由能趋向最小的过程 ,在宏观上表 现为液晶折射率的改变 . 必须正 确求 得 液晶 在外 加电场作用下的指向矢分布 , 才 能保 证 液晶 电光 特性研究的可行性与可靠性 . 在 液晶 的 建模 计算 工作中 ,液晶的指向矢分布计算 是计 算 量最 大的 一部分 . 2 2 9nx 9ny 9x + 9y 9nx 9ny 1 Δf1 = 2 k11 + k22 9y - 9x 2 9nx 9ny 9z + 9z ( 1 ) + K33 收稿日期 : 2005 - 04 - 26 作者简介 : 贺容容 ( 1963 - ) , 实验师 , 从事计算机应用与研究 . 图 2 外电场作用下的液晶分子指向矢分布示意图 ( n) ( n) θ +θ 2 数值解法 2. 1 一维近似下液晶指向矢的分布 如图 2所示 ,设液晶盒只有一对控制电极和地 电极 ,考虑液晶的吉布斯自由能方程的一维形式 : ( n + 1 ) ( n) ) i + 1 i - 1 θi 2 f (θi = 2 h ( n) ( n) 2 θi + 1 - θ ( n) ) i - 1 + f′(θi 2 h - φ ( n) ( n) 2 φ ( n) i + 1 i - 1 - g′ (θi ) d d W G = ∫0 FG dz = ∫0 ( Fs - Fe ) dz ( 3 ) 2 h 其中 FG 是吉布斯自由能密度 , FS 是液晶形变 自由能密度 , Fe 是液晶外加电场带来液晶自由能 密度 , d为盒厚 ,其具体形式为 [ 4 ] : ( n) ( n) φi + 1 -φ 2π ( n) ( n) i - 1 - k2