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第5章 运筹学模型 5.3 层次分析法模型 从事各种职业的人都可能面临决策：工厂要决定购买哪些设备；科研人员要选择研究什么课题；医生要为病人选择治疗方案；经理要从应聘人员中选择合适的人员；各地区各部门官员要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划做出决策． 人们在处理上述问题时，要考虑的因素有很多，在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往是难以量化的，人们的主观选择会起相当重要的作用，这就给一般的数学方法解决问题带来本质上的困难． 美国著名的运筹学家T．L．Saaty等人于20世纪70年代提出一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，称为层次分析法(AHP：Analytic Hierarchy Process)，这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，在决策工作中有广泛的应用． 5．3．1 层次分析法的基本步骤 层次分析法的基本思路与人对复杂决策问题的思维和判断过程大体是一致的．例如，某工厂要从三名技术人员中选派一名骨干人员，主要根据技术能力、品德、资历、贡献等准则去反复比较这三个人．首先，要确定这些准则对评价一个技术人员的重要性有多大；其次，会就每一准则将三个人进行对比；最后，将这两个层次的比较判断进行综合，在中确定最佳人选． 上述的思维过程可以加工整理成以下几个步骤： 1．将决策问题分成三个层次，最上层为目标层，即选择骨干人员；最下层为方案层，有三个人选；中间层为准则层，有技术能力、品德、资历、贡献等准则，各层次之间的联系用相连的直线表示（图1）． 图5-3-1 2．通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重． 3．将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重．在层次分析法中要给出进行综合的计算方法． 层次分析法将定性分析和定量计算结合起来完成上述步骤，给出决策结果．下面我们来说明如何比较同一层各因素对上层因素的影响，从而确定它们在上层因素中占的权重． 1、构造成对比较矩阵 在层次分析法中，Saaty等人不是把所有因素放在一起比较，而是采用相对尺度两两相互对比，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度． 假设要比较某一层个因素对上层一个因素的影响，如上述问题中要比较技术能力等4个准则在选择骨干人员这个目标中的重要性．每次取两个因素和，用表示和对的的贡献(或重要性)大小． Saaty给出的比较尺度是按照如下“1~9比例尺度” 给赋值，列表如下： 　　　　　　　　　　　　　　　　 表5-3-1 尺度 含 义 与的影响相同 比的影响稍强 比的影响强 比的影响明显地强 比的影响绝对地强 与的影响之比在上述两个相邻等级之间 与的影响之比为上面的倒数 全部比较结果可用成对比较矩阵 （1） 表示．具有（1）式所表示的特点的矩阵叫做正互反矩阵．显然，必有． 如用依次表示技术能力、品德、资历、贡献4个准则，设用成对比较法得到的成对比较矩阵为 （2） （2）中表示技术能力与品德对于选择骨干人员这一目标的重要性之比是；表示技术能力与资历对于选择骨干人员这一目标的重要性之比是； 表示品德与资历对于选择骨干人员这一目标的重要性之比是，其他以此类推，表明在选拔骨干人员时，技术能力和贡献这两个因素比较重要，其次是品德，资历再次． 两两比较后，如何确定总的排序结果呢？ 2、计算权重向量 设想把一块单位重量的石头砸成个小石块，如果精确地称出它们的重量是 ，在作成对比较矩阵时令，那么得到一个成对比较矩阵 于是,所谓的权重即指各个小石块在大石头中所占的比重,即各个，可用向量 表示，且．显然，的各个列向量与仅相差一个比例因子．从上面矩阵可以看出： ， （4） 一般地，如果一个正互反矩阵满足（4），则称为一致性矩阵，简称为一致阵． 一致阵有下列性质 1．的秩为1，的惟一非零特征根*为； 2．的任一列向量都是对应于特征根的特征向量． 如果得到的成对比较矩阵是一致阵，像（3）式的，自然应取对应于特征根的、归一化的（即分量之和为1）特征向量表示诸因素对上层因素的权重，这个向量称为权向量．如果得到的成对比较矩阵不是一致阵，像（2）式的就不是一致阵，因为，，而．在实际问题中，对于成对比较不一致的情况，Saaty等人给出了这种不一致的容许范围，在此范围内建议用对应于最大特征根（记作）的归一化后的特征向量作为权向量，即满足