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浅谈复数的欧拉公式及其应用 摘要：本文在复数域上给出欧拉公式的五种证明；通过实例说明欧拉公式在高等数学某些部分中的应用，从而简化了常规方法的繁杂． 关键词：复数；欧拉公式；微分积分　应用 一　欧拉公式的历史来源 　等式称为复数 的欧拉公式（Eulers complex number formula）。 　　1714年，英国数学家科兹（1682-1716），首先 发表了下述定理（用现代记号表示）： 　1740年，著名数学家欧拉（1707-1783）在给约 ．伯努利（1667-1748）的信中写道，和都是同一个微分方程的解．因此它们应该相等． 1743年，欧拉又发表了这个结果? ?? 　1748年欧拉重新发现了科兹所发现的结果，它等价于 ，()　 　这就是著名的欧拉公式． 　若设，得 　即 ． 这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：ｅ，ｉ，π，１，０连起来！ 欧拉公式被称为“世界上最杰出的公式”，关于它也有一个好玩的故事．欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职．一次，俄女皇邀请法国哲学家狄德罗访问。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的．女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴．于是，狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明．狄德罗高兴地接受了挑战．第二天，在宫廷上，欧拉朝狄德罗走去，用一种非常肯定的声调一本正经地说：“先生，，因此上帝存在．请回答!”对狄德罗来说，这听起来好像有点道理，他困惑得不知说什么好．周围的人报以纵声大笑，使这个可怜的人觉得受了羞辱．他请求女皇答应他立即返回法国，女皇神态自若地答应了． 二　欧拉公式的证明 证法１：复指数函数定义法 因为对任何复数，复指数函数定义为．所以，当的实部时，就得到欧拉公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（证毕） 证法2：分离变量积分法 设复数，两边对求导数，得 　　． 分离变量并对两边积分，得 　　　　 取得，故有，即．　　　　（证毕） 证法3：复数幂级数展开式法 　　　因为，则有，而　　 ，　，　　， 所以．　　（证毕） 证法4：变上限积分法 　　 考虑变上限积分． 因为＝，又因为 　　　 　＝ 　　　　　　　　　　　＝， 再设，由此得，所以有 ， 即． 令，得， 即有．　　　　　　　　　　　　　　　　　　（证毕） 证法5：极限法 当时，欧拉公式显然成立； 当时，考虑极限，（）． 一方面，令　，则有 ．　　　　　　　　　　　　　⑴ 另一方面，将　化为三角式，得 　　　　＝，　　　　　　⑵ 由棣莫夫公式得 　　　　， 而　　，， ， 所以有． 由（１）（２）两式得． 三　欧拉公式的应用 １　欧拉公式在三角中的应用 基本公式　由欧拉公式，容易推出 　　　　　　　 应用举例 计算三角函数式的值 例１　计算 解：原式＝ 　　　　＝×　　　等比数列求和 　　　　　×＝×　　 　　　　　＝ 　例２　已知ａ，求的值 解：原式＝ 　　　　　＝ 由ａ代入上式消去 原式＝＝ 对 所以　原式＝ ②　证明三角恒等式 例３　　证明 　为方便计算令，原式变为　 　证明：左边＝ 　　　　　　＝ 　　　　右边＝ 　　　　　　＝＝左边　　 解三角方程 例４　　解方程 　解：把代入得： 　　　　　 由欧拉公式得： 经整理得：