线性方程组的直接解法§6.7.pptVIP

* §6.7 误差分析 1. 方程组的性态和条件数 2. 精度分析 1. 方程组的性态和条件数 　考虑线性方程组 其中设 A为非奇异矩阵，x为方程组的精确解． Ax ? b 　由于A(或b)元素是测量得到的，或者是计算的结果，在第一种情况 A(或b)常带有某些观测误差，在后一种情况 A(或b)又包含有舍入误差．因此实际处理的矩阵是 A??A(或b ??b)，这种误差(或扰动)有时使方程组的解面目全非，有时却对解的影响不大．下面来研究数据A(或b)的微小扰动对解的影响．首先考察两个例子． 例6.9　解下列2个方程组 这2个方程组的常数部分只有极微小的不同，可以认为(6.25)是(6.24)的常数部分产生小的扰动而成的．但(6.24)的准确解是　x1?2， x2?1，而(6.25)的准确解是 x1?3.5， x2??2 例6.10　对方程组 其准确解为　x1? 1， x2?3 若将方程组改成 其最大的绝对误差不超过10?5的近似解为　 x1? 0.99988， x2?3.00006 可见方程组(6.27)常数部分的扰动虽然比(6.25) 相对大，但对解影响甚微． 定义 如果矩阵 A或常数项b的微小变化，引起方程组 Ax ? b解的巨大变化，则称此方程组为病态方程组，矩阵A称为病态矩阵（相对于方程组而言），否则称方程组为良态方程组， A称为良态矩阵． 设有方程组 其中 A为非奇异矩阵，x为方程组的精确解． Ax ? b 　下面讨论刻划方程组这种性态的量． (1) 方程组的右端项有扰动的情形 　设方程组 Ax ? b(b ?0)中只有b有扰动?b，设此时解x的扰动为?x，则 A?x??x) ? b ? ?b ? A?x ? ?b ? ?x ? A?1?b 两边取范数，由范数相容性条件得 此式表明，当右端项有扰动时，解的相对误差不超过右端项的相对误差的‖A‖?‖A?1‖倍． 　如右端项无扰动，系数矩阵 A有扰动?A，相应的解x的扰动为?x，则 ?A ? ?A)?x??x) ? b ? A?x ? ??A?x??x) ? ?x ? ?A?1?A?x??x) (2) 方程组的系数矩阵有扰动的情形 此式表明，当系数矩阵有扰动时，解的扰动仍与‖A‖?‖A?1‖有关． (3) 方程组的系数矩阵与右端项都有扰动的情形 　当 A有扰动?A，b有扰动?b，x有扰动?x，则 ?A ? ?A)?x??x) ? b ? ?b，且‖A?1‖?‖?A‖?1 时有 由式(6.30),(6.31)和(6.32)可知, A和b有扰动时, ‖A‖?‖A?1‖的大小标志着方程组解x的敏感程度，解x的某种范数含义下的相对误差的上界随‖A‖?‖A?1‖的增大而增大，并且这种影响完全是由系数矩阵 A的特性确定的． 定义6.7 设 A为非奇异矩阵，称 为矩阵 A的条件数．其中‖?‖为任一种算子范数． Cond?A? ?‖A?1‖? ‖A‖ (1) 条件数仅于 A有关，而与解题方法无关． (2) 条件数不唯一，这是由于算子范数不唯一造成的，但从数量级来说，条件数之间差异不大． 　矩阵的条件数是一个十分重要的概念，由上面讨论知，当A的条件数相对的大，即cond ?A)??1时，则 Ax ? b是病态的 （即 A是病态矩阵），当A的条件数相对的小，则 Ax ? b是良态的（即 A是良态矩阵）． A的条件数越大，方程组的病态程度越严重，也就越难用一般的计算方法求得比较准确的解． 　常用的条件数有 　如例6.9的方程组(6.24)的系数矩阵为 条件数很大，方程组(6.24)是严重病态的，其初始数据的微小扰动就可能导致解严重失真． 　对例6.10的方程组(6.26)的系数矩阵 故方程组(6.26)是良态的． 例　已知希而伯特( Hilbert )矩阵 计算H3的条件数． 解 ?1? 当n愈大时， Hn矩阵病态愈严重． ?2? 考虑方程组 H3x ? ?11/6 , 13/12 , 47/60?T ? b 设H3及b有微小误差（取3为有效数字）有 分别为 这就是说 H3与b相对误差不超过0.3?，而引起解的相对误差超过50? ． 2. 精度分析 可见方程组的解在范数意义下的相对误差取决于cond(A)和‖r‖这两个因数，所以尽管‖r‖很小，方程组在病态条件下, cond(A)可能很大，因而解的相对误差就不一定很小了. 例如　方程组 的解 x1?3.5， x2??2 的近似解(准确解是 x1?2, x2?1) 作为方 程组 其残向量为 显然‖r‖很小，但实际上这个近似解与准确解相差很大．