第四章 常微分方程数值解.ppt

§1 常微分方程初值问题数值解 如果函数的形式比较简单，适合于直接积分， 由式(4.1.3)即可求得随变化的连续函数。这就是分析解，也称精确解。如果不能直接积分，则可通过对式(4.1.3)的数值积分求值。也就是一阶常微分方程初值问题的数值解。 若 与 都已知，只要反复应用式(4.1.4)即可算得任意时刻的 值。 常微分方程(4.1.1)的数值解，就是围绕 着对式(4.1.4)如何进行数值积分展开的。目前比较常用的方法为Runge – Kutta法。 二、Euler法 Euler法是实现式(4.1.4)数值积分最简单的方法，计算公式： 比较式(4.1.4)与(4.1.5)，对照图4.1，不难看到，Euler法的实质是：用矩形面积（高为 ，底 ）代替曲线积分所对应的面积。显然这会引进相当的误差。为了减小这种误差，又提出了改进Euler法。改进Euler法的基本思想是，用 斜线对应的梯形面积来代替 曲线的积分。即 式(4.1.7)和式(4.1.5)的任务，都是在已知 的条件下，求 的值。但改进Euler法与Euler法在计算上有一个区别。Euler法的 计算公式(4.1.5)中，待求的量 只在等式 左边出现，等式右边的量都是已知的，这 类情况通常称显示方式。 而计算公式(4.1.7)中 除了在等式左边出现 外，还在等式右边函数内出现，这样在已知的 情况下，必须通过解方程才能获得 。因 此，在改进Euler法中就出现了在Euler法中未 曾出现的新问题，即求解有关 的隐式方程。如果这种隐式比较复杂，则 是否可以解以及如何求解，都是尚待解决的问题。 计算方法 原则上讲，可以通过迭代的方法求 值， 例如用Euler法求得初值: 可以证明，当步长 取得比较小，经过多次迭 代后， 将收敛于 。这种改进Euler法 在计算精度上虽然比Euler法优越，但计算量 大，关键是用迭代法解方程不知是迭代多少次， 在实际计算中，为了简化，只迭代一次算 得 。这时计算公式为： 通常称这类公式为预报校正公式，式(4.1.10)为预报公式，它预报 第一个值，式(4.1.9)为校正公式，由此算出 的校正值。将上述计算公式写成更简单的形式， 其中 K1的几何意义前面已经讲过，为 的面积。 由于改进后的Euler法用斜直线 对应的面积（梯形）代替曲线所对应的面积，它的精度仍受相当的限制，为了提高计算的精确度，又提出了Runge-Kutta法。 四、Runge-Kutta法 问题仍然是已知 （认为它是精确的）求 的值，希望 能算得更精确些（比前面介绍的方法），而计算工作量又不大。 具体地说，Runge-Kutta法的计算公式如下： 五、误差分析 无论是Euler法，改进的Euler法，还是Runge-Kutta法，它们的计算结果与精确解的结果总是有偏差，也称误差。方法不同，误差也就不同。因此，在采用何种方法进行数值计算时，对各种方法可能引起的误差应有一个定的分析。 精确解 可根据Taylor级数展开公式写出： 式(4.1.19)与式(4.1.20)相减，得 改进Euler法： 将式(4.1.22)代入式(4.1.13)，得 式（4.1.19）与式（4.1.24）相减，得 的差值为 ，这个差值是两个余项的差，它的数量级等同于余项的数量级。这说明改进Euler法的截断误差为 ，比Euler法提高了一个数量级，计算精度提高了。 用上述同样的方法，可推导出Runge-Kutta法的 截断误差。四阶Runge-Kutta法的截 断误差为 ，计算的精度更高了。 讨论： 从以上分析中可看到，截断误差的大小与所用的 计算公式有关，同时，还与步长 的大小有关。 越小，截断误差也越小。为了得到较高的计 算精度，通常取较小的步长。但同时，由于步长 取得小，计算的量就增加了，与此相应的计算过 程的舍入误差就会增加，这种误差有时可能起主 要作用，因此，在总的误差分析中，要权衡舍入 误差与截断误差两方面，选取合适的步长。 六、一阶常微分方程组