2011年广西高二数学竞赛初赛题参考 答案及评分标准.docVIP

2011年广西高二数学竞赛初赛 一、选择题（每小题6分，共36分） 1. 答案：B解析：不等式成立的充要条件是，故选B。 2. 答案：. 解析：本题应知“共线，等价于存在使且”。故选。 3. 答案：A. 解析：由，知，所以，即是周期函数，周期为6．所以．选A． 4. 答案：C. 解析：由已知可得 ，又由②-③得 ，代入①得 ，从而，再代入②，得. 故选C . 5. 答案：D. 解析： 令，，，在上，为减函数，为增函数. 要使上为减函数，应为增函数，故. 为了保证在[-1,1]上恒成立，只需，即. 因此，. 故选D . 6. 答案：C. 解析：由得 ，又中必有一个是正整数，且 ， 故. 选C . 二、填空题（每小题9分，共54分） 1解：，，所以 . 又，。所以，当时，， ；当时，，.所以 . 故 . 2．答案：. 解：，设，，要使， 只需、在区间上的图象均在轴下方，其充要条件是，，，由此推出 3．答案：. 解：，知. 设，则由题意有，解得 ， 所以 . 4．答案：92. 解：，所以不是最大的. 数列的最大项应满足 ， 从而有 ，即 . 由①式可得 ，由②式可用反证法证得. 因此，当取得最大值时. 5．答案：. 解：，设，则.因在上单调递增，故，. 6．答案：或. 解：，记，其中含有个，则， 以此类推有 由题设可知且所以或 即或。 三、，由正弦定理得 ， 即： 　　　　　　　　　　　　　　　　　……5分 从而有 所以（舍去）. 　 　　　　……10分 又因，由正弦定理得 . 而 ，代入②，得 　　　　……15分 ， 从而有（舍去） 或 ， 所以，. 　　　　……20分 四、代入，得，从而方程的两根分别为1、4，且由题设可知 ，方程的两根为正实数. ……5分 若4是该等比数列的第2项，则方程的两根应为16、64，这不符合韦达定理； 若4是该等比数列的第4项，不符合韦达定理； ……10分 若4是该等比数列的第3项，则方程的两根应为2、8，符合韦达定理，此时 . 　　　　……15分 同理，将代入，得，从而方程的两根分别为1、9，均不合题意. ……20分 五、的反函数是 ， ……5分 于是由题意，有. 而，所以， 即 ，等价于 ……10分 由(1)，得 ，所以有判别式≥0. 当时，即时，方程有且只有一个实数解，满足条件要求； ……15分 当，即时，方程有两个相异实根：，. 易见，满足要求. 要使不满足要求，应有，解得 . 综合上述，可知当或时有且只有一个实数满足条件. ……20分 4