第1部分_基本知识.ppt

计算方法 （36学时） 课程考核方法 平时作业（10分） + 平时测验（10分） +上机实验报告（20分） +期末试卷分数（60分） 主要章节 第一章 预篇 第二章 线性方程组数值解法 第三章 线性方程组迭代法 第四章 插值方法 第五章 数值积分 第七章 常微分方程初值问题数值解法 内容提要 1.1 科学计算的内容与意义 1.2 误差分析(Error Analysis) 1.3 稳定性与收敛性 1.4 线性空间有关知识 习题一 答案 §1.1 科学计算的内容与意义 一、科学计算研究的对象 二、科学计算的特点 三、科学计算的意义与学习方法 一、科学计算研究的对象 二、科学计算的特点 三、科学计算的意义与学习方法 §1.2 误差分析（Error Analysis） 引 言 一、误差的来源 二、误差的大小与近似数的精度 1.绝对误差（Absolute Error） 2.??相对误差（Relative Error） 3.有效数字（Significant Digits） 三、近似数的四则运算 四、计算机的字长与固有误差 1.定点运算 2. 浮点运算 引言 数据的不精确性 对象：科学计算处理的数据 = { 原始数据，中间结果，最终结果 } 特点：大多数都是近似数 精确度的可控性 这些近似数的精确度是人们能够而且必须掌握的 这就是要研究近似数的误差来源 误差分析的任务 估计误差大小的方法 把误差控制在一定范围内的措施 本节我们作一些最基本的介绍。 一、误差的来源 二、误差的大小与近似数的精度 近似数确定与 绝对误差限的 关系 三、近似数的四则运算 四、计算机的字长与固有误差 计算机表示的数的精度 由于受到存储单元字长（ 16或32位）的限制 因而存在固有误差 在此，仅就十进制数来讨论计算机的固有误差 设某计算机十进制字长是 t 位 即它能表示 t 个十进制数位 1.定点运算 加减法运算 对于机器表数范围之内的数，不产生误差 超出机器表数范围，机器出现“溢出”而停机 克服溢出停机的相应程序设计技术 1）改变算法 2）引进比例因子 乘除法运算 两个 t 位数相乘，得到 2t 位乘积，即双倍字长的数 1）如小数点在最前面，舍入成单字处的数，这就产生至多是1/2?10-t的绝对误差，即积的有效位最多可达 t 位 2）如小数点在最后，积是 2t 位整数，不能舍入，可用两个存储单元来存放，因而乘积 称为双字长数 除法运算 有类似情况。 §1.3稳定性与收敛性 一、误差的增长与算法的稳定性 二、收敛性与收敛速度 算法中应注意的几个问题 一、误差的增长与算法的稳定性 收敛条件的实例算法归类 关于收敛的性态 收敛速度 §1.4 线性空间有关知识 一、线性空间 常见的线性空间 子空间 二、距离、范数与内积 距离空间 赋范空间 内积空间 结论 常用范数 Cn空间范数 线性空间C[a,b]上范数 Cn（或Rn）中向量的范数 P-范数 C[a,b]中常用的范数 矩阵A的范数 矩阵算子范数 矩阵F-范数 空间范数 线性空间C[a,b]上范数 中向量的范数 P-范数 C[a,b]中常用的范数 矩阵A的范数 矩阵算子范数 矩阵F-范数 三、压缩映射原理 范数等价的概念 点列{xn}的极限 Hilbert 空间 典型实例 压缩映射原理 压缩映射原理的作用 收敛的性态 先验估计类 (第一类算法) 迭代类 (第二类算法) 比较截断误差的大小 评价计算的复杂性程度 分析近似解序列收敛速度 评价计算的复杂性程度 定义1.1 例1.13 例 1.14 返回引用 返回节 算法中应注意的几个问题 一个大的算法，要进行千百次计算，计算中的舍入误差再所难免，因此在数值计算中，必须注意以下几个问题： 1.要构造或选用数值稳定的算法，避免使用数值不稳定的算法； 2.要避免两个相近的数相减，否则会严重损失有效数字； [规则] 避免相近的数相减的方法，是化减法运 算为其它方法运算。 例如： 3.绝对值太小的数不宜做除数，否则会使相对误差增大。 [避免的办法] 还是把除式分母中的减法转化为其它方法运算。 4.简化计算步骤，减少计算次数。这样做不仅可以减少机器运算时间，也可能减少误差的增长。 返回章 返回节 本节将扼要介绍内积、正交、范数和距离等重要概念，为本学科打好必要的基础。 其中如范数等知识是我们进行算法误差分析和收敛性分析的必备知识基础。 一、线性空间 二、距离、范数与内积 三、压缩映射原理 定义1.2 设V是一个非空集合，F是一个数域，如果满足下列条件，则称V是数