解密圆的移动.docVIP

/?mty 解密圆的移动 随着新课程的实施和素质教育的不断深入，一些与几何有关的动态变化题已成为近年来中考数学的热点之一。其中又以圆的动态变化最为丰富多彩。本文谈谈中考题中的“圆的移动问题”。圆的移动是指圆心按某个条件运动，而圆的大小在运动过程中保持不变。 一、在直线上的移动 例1. （2005年南京市中考） 如图1，形如量角器的半圆O的直径，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t（s），当时，半圆O在△ABC的左侧，。 （1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？ （2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。 图1 解：（1）①如图2，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，所以AC与半圆O所在圆相切，点O运动2cm，所求运动时间为：。 图2 ②如图3，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F。在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12cm，则OF＝6cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在圆相切，点O运动8cm，所求运动时间为。 图3 ③如图4，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC＝OD＝6cm，所以AC与半圆O所在圆相切，点O运动到14cm，所求运动时间为t＝7s。 图4 /?mty ④如图5，当点O运动到点B的右侧，且OB＝12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q。在Rt△QOB中，∠QBO＝30°，OQ＝6cm，则OB＝12cm，即OQ等于半圆O的半径，所以直线AB与半圆O所在圆相切，点O运动32cm，所求运动时间为。因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在直线相切只有上述①③两种情况；与AB所在直线相切只有上述②④两种情况；与BC所在直线始终相交。所以只有当t为1s、4s、7s、16s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切。 图5 （2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有上述②③两种情况（如图3、4所示）。 ①如图3，设OA与半圆O的交点M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分的面积为： ②如图4，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H。则PH＝BH。 在Rt△OBH中，∠OBH＝30°，OB＝6cm 则 又因为∠DOP＝2∠DBP＝60° 所以重叠部分的面积为： 二、在折线上的移动 例2. （2004年南京市中考） 如图6，在矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t（s）。 （1）t为何值时，四边形APQD为矩形？ （2）如图7，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？ 解：（1）根据题意，当AP＝DQ时， 由AP∥DQ，∠A＝90°，得四边形APQD为矩形 此时，，解得 /?mty 所以t为4s时，四边形APQD为矩形。 （2）当PQ＝4时，⊙P与⊙Q外切 ①如果点P在AB上运动。 只有当四边形APQD为矩形时，PQ＝4 由（1），得 ②如果点P在BC上运动 此时， 则 所以⊙P与⊙Q外离 ③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧 可得 当时，⊙P与⊙Q外切 此时， 解得 ④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧 当时，⊙P与⊙Q外切 此时， 解得 因为点P从A开始沿折线A—B—C—D移动到D需要11s，点Q从C开始沿CD移动到D需要20s，而，所以当t为4s，时，⊙P与⊙Q外切。 三、在直角坐标系中的移动 例3. （2005年盐城市中考） 已知：如图8所示，直线l的解析式为，并且与x轴、y轴分别相交于点A、B。 （1）求A、B两点的坐标； （2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位／秒的速度向x轴正方向运动，问在什么时刻该圆与直线l相切； （3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？ 图8 解：（1）在中令，得；令，得，所以A、B两点的坐标分别为A（4，0），B（0，）。 （2）若动圆的圆心在C处与直线l相切，设