微分几何教案（十） 1.2光滑曲面曲面的切平面和法线.docVIP

1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 一 光滑曲面,正常点,正规坐标网 1 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到k阶的连续偏导数,则称为k阶正则曲面或称为类曲面. 2 光滑曲面:类曲面叫做光滑曲面.以后假定讨论的曲面都是光滑曲面. 3 正常点: 对曲面S上一点,过的u-曲线:,其切向量为 ,过的v-曲线:,其切向量为 ，如果,则称为正常点,或正则点。以后我们只讨论曲面的正常点。曲面上的点如果都是正常点，则曲面叫做正则曲面. 在球面的参数方程中, 是球面的不正常点。因球面上点都是一样的,所以一个点是否为正常点与参数的选取或坐标系的选取有关系. 4 正规坐标网 因为曲面是光滑的,所以都连续,故在曲面S的正常点 的某个邻域U内,都有 。这样在U对应的这片曲面上的每一点有唯一的一条u-线和唯一的一条v-线，而且这两族曲线不相切.这样的两族曲线叫做曲面上的正规坐标网. 5 命题1 在曲面的正常点的邻域内，曲面的参数方程总可以写成z=z(x,y) （或x=(y,z) 或y=y(x,z)）。 证明 因在正常点的邻域内 ，所以的秩为2 ，若 ，则x = x (u,v), y = y (u,v)存在连续可微的函数u = u (x,y), v = v (x,y), 带入z = z (x,y)即得z = z (x,y) 。 二 曲面的切平面和法线 1 曲面的切平面定义 设曲面S的方程为,由 u = u (t) ,v = v(t)或 ，在曲面S上确定一条曲线，在曲面上点处的切方向称为曲面S在该点的一个切方向。这个切方向可用下述向量表示 , 称为曲面S上的一个切向量或向量。 在曲面S的正常点处, 因 ,所以 决定唯一一个平面，由表明，曲线在的切线在平面上，由的任意性有： 命题2 曲面上正常点P处的所有切线都在由P和 决定的平面上。 定义 由曲面上点P和过P的两条坐标曲线的切向量 决定的平面称为曲面在P点的切平面。 注：因，所以曲面的切方向完全依赖于与的比值du:dv， 因此以后谈到曲面的方向时,就是指给出了du:dv. 2 曲面的切平面方程的求法 设为曲面上一点，为过点的切平面上任一点的径矢，则曲面在点的切平面方程是： 。 切平面方程用行列式表示为： 对于曲面z = z(x,y) , ,在点的切平面为 即 3 曲面的法线的定义和法线方程 定义 曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向。过这点平行于法方向的直线称为曲面在该点的法线。 显然，曲面的法方向量 ，设曲面上一点的径矢是，为法线上任一点的径矢，则法线方程为 （t为参数）。坐标表示的标准方程是： 例 求圆柱面在任一点的切平面和法线方程。 三 曲纹坐标变换、曲面的正侧 如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标： ，则得到曲面关于新坐标的方程，上式称为曲纹坐标变换。 ，可见，若，则对于新的坐标仍然成立。 对于的变换，它使新的法向量平行于原来的法向量。 定义 若限制参数变换的行列式，则法向量的正向保持不变。在这样的限制下，我们称法向量的正向为曲面的正侧。 注1. 因 成右手系，所以在曲面的正侧，u-曲线到v -曲线的旋转是逆时针的。 2. 易知曲面的正侧与参数的确定有关，例如当坐标曲线u与v对调时，则改变它的方向，因而曲面的正侧变为负侧。这时我们把所讨论的曲面叫做双侧的。 因此我们以后讨论的曲面是双侧的，取 为曲面的正侧。 1.3 曲面上的曲线族和曲线网 1 曲面S上一条曲线的方程 如果曲面S：上一条曲线是由方程u=u(t),v=v(t)确定的，则将其带入曲面S的方程得曲线的向径表示；由u=u(t),v=v(t)消去参数t ，的方程也可表示为：或，或 。 2 曲面S上一族曲线的方程 一般的,线性微分方程A(u,v)du+B(u,v)dv=0-----(1) 表示曲面上一族曲线,因为若 ，则由上式得，解之得 , 其中c为待定常数。每个c值对应曲面上一条曲线,所以 代表一族曲线。 (1)就是这族曲线的方程。特别A= 0时是dv = 0,表示u-线，B = 0时是du = 0,表示v-线。 3 曲面上曲线网的方程 一般的,二阶微分方程 -------（2）（假定）表示曲面上两族曲线——曲线网。因此（2）表示曲面上曲线网的方程。 特别，A=C=0时，dudv = 0,它表示曲面上的两族坐标曲线构成的曲纹坐标网。 习题：P67. 3, 4, 5