A18 专题十八　数学创新题.docVIP

专题　数学创新题 【考点聚焦】 考点1：阅读理解能力． 考点2：转化与化规思想方法的运用． 考点3：其他学科知识与数学知识的相互转化． 【重点难点热点】 【自我检测】 （以问题的形式考查学生对必须要具备的知识，对必须具备知识的友情提示） 问题1：概念型创新 例1．（06年广东卷）对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则 A． B． C． D． 思路分析：按定义求出p,q的值． 解：由得, 所以,故选B． 例2：(06年上海)如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题： ①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个； ②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个； ③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 （ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 思路分析：（，）的个数就是到直线l1的距离为p的直线与到直线l2的距离为q的直线的交点的个数，作出满足条件的直线即可． 解：选（D） ① 正确，此点为点； ② 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）；③ 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点． 点评：概念型创新题特点是首先给出一个定义，然后根据定义提出一系列问题．解决此类问题，先要认真理解题目给出的定义，把握定义的本质，在此基础上按定义处理问题． 演变1：（06年四川）非空集合关于运算满足：（1）对任意、，都有ab∈G；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算： ①{非负整数}，为整数的加法．②{偶数}，为整数的乘法． ③{平面向量}，为平面向量的加法．④{二次三项式}，为多项式的加法． ⑤{虚数}，为复数的乘法． 其中关于运算为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号） 点拨与提示：按定义逐个验证．注意e是该集合中的“单位元”． 演变2：设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间． （I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间； （II）对给定的r（0＜r＜0．5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0．5＋r． （区间长度等于区间的右端点与左端点之差） 思路分析：(1)运用反证法结合单峰函数的定义证明；(2)根据题目的条件得出0.5+r≤≤0．5+r，从而得到=0.5+r． 问题2：情境创新题 这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．可以较好的考查学生的学习能力，阅读理解能力，数学思维能力等．由于突出体现了“考思维能力与创新意识”这一特色，所以，在近几年的高考中，备受命题者的青睐． 例3：(06陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( ) A．4,6,1,7 B．7,6,1,4 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7 思路分析：本题的本质是一种对应，根据对应法则求出a,b,c,d的值． 解：当接收方收到密文14，9，23，28时， 则，解得，解密得到的明文为C． 例4：某娱乐中心有如下摸奖活动：拿8个白球和8个黑球放在一盒中，规定：凡摸奖者，每人每次交费1元，每次从盒中摸出5个球，中奖情况为：摸出5个白球中20元，摸出4个白球1个黑球中2元，摸出3个白球2个黑球中价值为0．5元的纪念品１件，其他无任何奖励． （1）分别计算中奖20元、2元的概率； （2）若有1560人次摸奖，不计其他支出，用概率估计该中心收入多少钱？ 思路分析：本题是等可能事件的概率问题，用等可能事件的概率公式求解． 解：（1）由已知