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§24.4三角形中位线 大卓中学 陈明义 教学目标: 1．知识与技能 通过看图，亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理,通过三角形中位线定理的证明,渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题。 2．过程与方法 通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证的方法证明猜想是否正确。 3．通过变式练习，小组讨论、交流等活动，培养良好的学习态度以及自主意识和合作精神． 教学重点、难点 重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线定理解决问题。 难点：三角形中位线定理的应用是本节的教学难点。 教学过程 一．明确三角形中位线的概念，给出研究课题 1．创设情境,提出问题,引入新课 如图，A、B两棵树被池塘隔开，现在要测量出A、B两树间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？ 提问：如果点D、E、F是三边中点,则AF是△ABC的中线 我们把DE叫做△ ABC 的中位线 引入课题: 三角形的中位线 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； 理解三角形的中位线定义的两层含义（填空） 说说三角形的中线和三角形的中位线的异同？（一个是顶点与对边中点的连线，一个是两边中点的连线） 2.提出问题 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 演示过程 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， 那么请同学们观察一下，猜一猜： 中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系？ 二．推理、论证结论 1．刚才同学们交流了利用我们所提供的图形，得到了中位线DE与BC在位置和数量上的关系，你能否用语言叙述这一结论呢？ 命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 你能证明这个命题吗？ 已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC． 求证：DE∥BC，DE=1/2 BC （经过交流、分析后，学生独立写出证明过程） 已知：如图所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC 求证：DE∥BC， 证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF， ∵AE=CE，∠AED=∠CEF（对顶角相等），ED=EF ∴△ADE≌△CFE（SAS） AD=CF（全等三角形的对应边相等） ∠ADE=∠F（全等三角形的对应角相等） ∴AD∥CF（内错角相等，两直线平行） ∵AD=DB，∴CF=DB 所以四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 于是DF∥BC，DF=BC，即DE∥BC，DE=1/2 BC。 通过了同学们的证明，可以知道你们猜想的结论是正确的．我们把这个结论称为三角形中位线定理， 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 三角形中位线定理不仅有三角形的中位线与第三边之间的位置关系，而且还有它们之间的数量关系．另外，当题设中出现中点时，要考虑应用三角形中位线定理来解决． 解决开始提出的问题,并进行练习巩固. 三、三角形中位线定理的应用 例1、求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC 求证：AE、DF互相平分 证明：连结DE、EF ∵AD=DB，BE=CE ∴DE∥AC（三角形中位线定理） 同理EF∥AB ∴四边形ADEF是平行四边形 ∴AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分） 猜一猜：画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？ 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 四边形EFGH是平行四边形吗?为什么? [分析]考虑到E、F是AB、BC的中点，因此连结AC，就得到EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，EF∥=，同理GH∥=，则EF∥GH，EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形。 证明：连结AC ∵E、F是AB、BC的中点 ∴EF=，EF∥AC 同理，GH=，GH∥AC ∴EF∥GH，EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形。 议一议： 1、顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状？为什么？ 2、如果将“矩形”改成“菱形”呢？ 3、如果顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，那么原四边形的两条对角线存在什么关系 ？ 4、上问中的菱形改为矩形呢？ 5、当四边形满足什么条件时，顺次连接它的四边中点，所得的四边形是正方形？ 四、课堂小结： 三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 三角形中位线的应用。 作业： 1、练习 第1题 2、习题24.4 第1题