方程数值方法.ppt

数 值 方 法 数值方法的内容 §1 基础知识 1.1 非线性方程、非线性方程组 * 山东师范大学数学系 常微分方程（组）初值问题数值解法 －微分方程数值逼近（Ch. 8） 非线性方程(组)的数值解法 －数值代数（Ch. 7） 矩阵特征值与特征向量数值计算方法 －数值代数（Ch. 9） 非线性方程组包 括： 高次方程(组),即代数方程(组) ,方程的解为 求解的特点： 无求解公式，无直接解法，难求得精确解。 举例: 超越方程(组) 超越方程 1.2 非线性方程(组)求解的特点 间接法(迭代法):从一个初始近似值出发,重复某种计算过程 不是问题的精确解 没有一定的解法。 产生的背景:许多科学理论与工程技术都可化为非线性方程(组) 间接法即迭代法。 由某问题得方程 第七章 非线性方程 (组)数值解法 来不断改进近似解，有限次改进后,计算出一个满足误差要求的 近似解，这种求解方法称为迭代法。 求解的方法： 迭代法求解的要求： 收敛 计算效率(快慢) 数值稳定性(考虑计算机的舍入误差) 初始值好 迭代公式合适(好的) 1.3* 映射的Jacobi阵和Fretcher导数 的映射(函数)， 的映射。 ，称 为F(X)的Jacobi 阵。 定义: X是D的一个内点,F(X)在X点有Jacobi阵J(X),对 ,使得当 时, 称F(X)的Jacobi 阵J(X)为F(X)在点X的F导数(Fretcher导数)。 充分条件(推论): 在X邻近都存在而且在X点 连续,则F(X)的Jacobi 阵J(X)是F(X)的F导数。 当F(X)在X存在F导数时,仿射映射 是映射(函数)F(X)在X邻近的一个很好的逼近。 若 说明: 定义1: 存在 并记为 1.4 收敛性和收敛阶 定义2 (1)线性的,若 序列的收敛性 序列的收敛阶 定义3 (2)超线性的,若 (3)p阶收敛的,若 注 ：P=2时为二阶收敛, 也称为平方收敛。 §2 非线性方程的二分法和插值法 2.1 二分法 (对分法或分半法) 1 条件 2 主要依据 由连续函数介值定理,则至少存在某个 即[a,b]内至少有方程(2.1)的一个根,称[a,b]为f(x) 的一个含根区间。 3 主要思想（基本思想） 把含根区间不断缩短，使含根区间之间含有一个满足误差 要求的近似解。 考虑非线性方程 f(x)=0 (2.1) 并且有 (3) 生成含根区间： 4 具体过程（方法） 满足下式: 生成含根区间 ,满足： (3) 生成含根区间： ,满足（2.2）式，即 生成含根区间 一般的, 满足（2.2）式，即 含根区间 近似解序列 其极限为 即序列 收敛于 的一个根 即 且 说明: 只要 就有 此时可计算或估计二分法执行的次数k. 事实上,由 两边取对数得 可取 对于给定的误差界 1.对函数要求低 (只要连续,在两个端点异号)。 优点: 2.二分法是收敛的。 例 不能求出所有根,(即有可能漏根)。 例 如图 该点可求出, 注1 :改进的方法， 试位法（比例求根法）。 但漏掉了四个点 2.不能用于求偶重根、复根；不能推广到多元方程组求解； 缺点: 的等比级数的收敛速度 相同。 1.收敛速度不快,仅与公比为 即是线性收敛的。 注2 :另外还有区间有哪些信誉好的足球投注网站法。 (3)取L(x)=0的根作为f(x)=0的新近似根,即 次近似 即 （迭代公式） （2）用f(x)关于 的线性插值函数 来近似函数f(x)。 从适当的 由(2.6)生成迭代序列 的方法称为正割法。 2.2 正割法 （或线性插值、割线法、双点弦截法） 近似值。 是二个接近于 1 定义（迭代公式的推导） 2 几何意义 用曲线 来近似原曲线， 结论： 近似曲线与x 轴的交点 更接近于真解 的割线 过点 从图上可以看出 比 并用割线与x轴的交点 注： 可以在 的同侧,也可以在 的两侧，不管怎样， 都比 更接近于真解 当 时 位于包含 的最小区间内。 另外 有插值多项式余项 证明： 定理1(局部收敛定理) 则存在 只要 由正割法产生的序列 收敛于 而且有 若f(x)在真解 邻近二次连续可导,且 3 收敛条件 连续可导，因此，对(2.8)式取极限,即得(2.7)式。 ＃ 即 当 ,由 取 得 , 从而 位于