数值分析 第1讲.pptVIP

二．误差在四则运算中的传播 可以利用误差传播公式对加减乘除，乘方和开方等算术运算中数据误差的传播规律作一具体分析。 2.避免除法中除数的数量级远小于被除数 3.防止小数被大数“吃掉” 如用六位浮点数计算某市的工业总产值，原始数据是各企业的工业产值，当加法进行到一定程度，部分和超过100亿元 （0.1×1011），再加产值不足10万元的小企业产值，将再也加不进去.而这部分企业可能为数不少，合计产值相当大.这种情况应将小数先分别加成大数，然后相加，结果才比较正确. 这个例子告诉我们，在计算机数系中，加法的交换律和结合律可能不成立，这是在大规模数据处理时应注意的问题. * 4. 注意简化计算步骤，减少运算次数 同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少舍入误差. * 例 的值， 若直接计算 再逐项相加，一共需做 次乘法和 次加法. 若采用秦九韶算法 计算多项式 只要 次乘法和 次加法就可算出 的值. 在“数值分析”中，这种节省计算次数的算法还有不少. 解的敏感性和病态性 如果输入数据的相对变化对解的相对变化影很大，称问题的解对数据的扰动具有高度敏感 对解的敏感性度量，称之为病态性，用条件数来描述： 例如， ， 它表示相对误差可能放大 倍. 如 ， 有 ， 自变量相对误差为 ， 函数值相对误差为 ， 一般情况下,相对条件数 就认为是病态， 越大 病态越严重. 则有 若取 这时问题可以认为是病态的. 练习 1.3 1.6 1.8 1.10 * 问题描述，即已知条件，要求目标。 理论，即工程问题中的物理化学系统或过程的本质规律 已知条件中一部分为数据 求解过程，即对计算机而言，算法 一个具体的工程问题就像看医生：先是病情描述；再是确定病因；最后是治序办法和步骤 “望闻问切”只是在描述病情，获取数据和信息 问题描述:模型定义 = 1:N 模型定义:求解过程 = 1:N * 对问题求解和深入理解来说，解析法依然很有价值 * 1.可解性； 2.准确性； 3.效率 * 我们讨论的时候，是假设模型或问题的描述是准确的。 那么误差是关于精确性的问题。 可以说准确主要是模型定义问题，精确主要是问题描述和解决过程。 * 已知在计算机中，小数典型地用浮点表示，即：m*be。 如156.78表示为0.15678*103 问：表示的数与数之间的间隔是否会变化？ * 既然只能得到x，x*是无法得到，那么误差就永远无法得到了，是吗？ 不要沮丧！ 还记得哲学课上说过，我们无法得到真理，但可以无限地逼近真理！ * 我经常拿一个胶软尺给我儿子量身高。我常常觉得它不准。但谁又能找得到世界上完全准确的尺子呢？！ 我想它一定不会差太远，可能不会超过1cm的吧，我不十分确定，只是和铁做的皮尺比较过，它们之间甚至没有超过0.5cm。 通常是这样，一个量具总是被比它更精确的量具来确定它的精确程度。 只是要注意一个尺子的分辨率和精确度的区别。实际上分辨率和精确度如影随形。 * 工程计算方法 第1讲 主要内容 工程与工程问题 解决工程问题的一般过程 工程计算模型与数值计算方法 算法的误差及其传播 模型的病态性 课程的考核 本次课练习 工程 工程定义为“以某组设想的目标为依据，应用有关的科学知识和技术手段，通过一群人的有组织活动将某个（或某些）现有实体（自然的或人造的）转化为具有预期使用价值的人造产品过程”。 现代工程是人们运用现代科学知识和技术手段，在社会、经济和时间等因素的限制范围内，为满足社会某种需要而创造新的物质产品的过程。 工程与科学相对。工程指工程应用，科学指科学理论。 本课程以工程应用的角度，学习如何将数值分析或计算方法应用于解决工程实际问题。 工程问题 工程问题： 工程设计。 如方案设计、结构设计、快速原型设计 仿真分析?预测 如离线系统性能仿真、硬件在环仿真、可视化仿真、有限元分析、 测试检验 原型测试、部件性能测试、整车路面测试 解决工程问题的一般过程 算法 数学模型 应变量：通常是输出量，刻画系统行为或状态的特征； 自变量：通常是时间和输入量； 参数：反映系统的性质和组成； 应变量= f (自变量，参数) 例如： 简而言之： 数学模型就是带有简化条件的方程组或不等式。 建模就是建立方程组或不等式！ 工程问题与守恒定律 工程问题最终体现为方程组和不等式等约束的形式；其中方程组反映了物理化学过程中某种量的守恒定律或转化定律。 守恒定律，可归纳为： 增加量=减少量 这种守恒或平衡，称之为稳态（s