高三一轮复习-导数在函数研究中的应用.docx

导数在函数研究中的应用1．函数的单调性了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．函数的极值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．知识点一　利用导数研究函数的单调性1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若f′(x)0，则f(x)在这个区间上是增加的．(2)若f′(x)0，则f(x)在这个区间上是减少的．(3)若f__′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求f__′(x)．(2)在定义域内解不等式f__′(x)0或f__′(x)0.(3)根据结果确定f(x)的单调区间．易误提醒　1．在某个区间(a，b)上，若f　′(x)0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f　′(x)0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f　′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f　′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f　′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f　′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．[自测练习]1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为(　　)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：A2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.又∵f(x)在R上是单调增函数，∴f′(x)≥0恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.答案：知识点二　利用导数研究函数的极值1．函数的极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．易误提醒　f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但f′(0)不存在．[自测练习]3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f　′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：导函数f　′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.答案：A4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)A．2 B．3C．4 D．5解析：f　′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f　′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a＋3＝0，解得a＝5.答案：D考点一　利用导数研究函数的单调性|　(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．若a0，则当x∈时，f′(x)0；当x∈时，f′(x)0.所以f(x)在单调递增，在单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.因此f2a－2等价于ln a＋a－10.令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)单调递增，g(1)＝0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)．利用导数研究函数的单调性应注意两点(1)在区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件是：?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．　　1．已知函数f(x)＝mln x－x2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间．解：函数f(x)＝mln