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导数及其应用大盘点 一．导数的定义： 2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③取极限得导数： （下面内容必记） 二、导数的运算： （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①；②；； ③； ④ ⑤ ⑥； ⑦； ⑧ 法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3： (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数的导数求法： ①换元，令，则②分别求导再相乘③回代 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知，则 2、若，则 3.=ax3+3x2+2 ，，则a=（　　　） 三．导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，即有。 2.V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 四．导数的几何意义： 函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。 题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况： （1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是： （2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。 例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； 解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3， 此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 五．函数的单调性：设函数在某个区间内可导， （1）该区间内为增函数； （2）该区间内为减函数； 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。 （3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立； （4）在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性： 步骤： （1）求导数 (2)判断导函数在区间上的符号 (3)下结论 ①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数； 题型二、利用导数求单调区间 求函数单调区间的步骤为： （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题） 思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立； （2）在该区间内恒成立； 思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。 注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以 导数的概念 1..已知的值是（ ） A. B. 2 C. D. －2 变式1：（ ） A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1 变式2： （ ） A． B． C． D． 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围； （2）若对满足的任何一个实数函数在区间上都为凸函数的最大值.解:由函数 得 （1） 在区间上为“凸函数”， 则 在区间[0,3]上恒成立 解法二：分离变量法： ∵ 当时, 恒成立,时, 恒成立等价于）恒成立， 而（）是增函数 (2)∵当时在区间上都为凸函数则时 恒成立在恒成立