浅谈量子力学中的变分法-华中师范大学.pdfVIP

浅谈量子力学中的变分法 郑飞鹏（2008213546） （华中师范大学 物理学基地班，湖北 武汉 430079） 摘 要：本文开篇通过“薛定谔之猫”等与经典物理格格不入的奇闻趣事阐述了量子世界的神秘之所在， 接着通过对相关文献中采用变分法，利用单参数以及多参数尝试波函数模型求解出的氦原子基态的结果给 出了一些自己的观点，并总结了对变分法的一些认识。 关键词：薛定谔之猫 变分法 氦原子基态 尝试波函数 单参数 二参数 1. 前言 由于普朗克常数的存在，导致量子世界与经典物理有着许多格格不入的地方。但是微观的量子世界是 我们无法感受到的，因此，初学者并未觉得有多么深刻的体会。真正引发我对量子世界浓厚兴趣的是在阅 读了《第一推动》丛书中的《新量子世界》以后。书中所讲到的“薛定谔之猫”[1]的故事，使得我深深地 被量子世界的神奇所吸引了。在利用量子理论了解释“猫”这种经典情况下存在的客体时，就会出现许多 让人啼笑皆非的悖论。按照量子理论，猫是处于生于死的叠加态，这个叠加态是由一个模糊的两个可能性 相同的部分组成的状态。但是，在经典情况下，当我们打开箱子以后，猫是生是死，只有一种可能，也就 是说我们打开箱子去观察猫的死活，这个“扰动”，干扰了系统，使得系统生与死的波函数叠加态迅速塌 陷成一个具体的本征波函数，对应的本征值是“生”或者“死”的其中之一。一个客观存在的实体怎么会 处在生与死的叠加态上呢？当我们去观察它的时候，又是怎样引起波函数的塌陷呢？这些是我们未知的， 这也正是量子世界的神秘所在之一。或许，这是由于集粒子性与波动性于一身使得这种类似于“怪物”的 微观世界的客体表现出了同我们经典理论所格格不入的地方。而是这种“粒子性与波动性”在不同的量子 问题中，它又表现出不同的现象。例如“薛定谔之猫”的生死问题、一维势垒的“隧道效应”、海森堡的 [1] 测不准关系等，甚至爱因斯坦还提出：当我们看不见月球的时候，月球是否是存在的这样奇怪的问题 。 带着这份对量子世界的好奇，通过学习了近一个学期的量子力学后，我感受到了许多，也领悟到了许 多。特别是在学习变分法的时候，发现我们在利用变分法求解量子力学问题的时候，往往对所求得结果的 精确程度过分关注，而忽略了求解变分法过程中所选择的尝试波函数所利用到的物理意义。实际上，后者 正是变分法真正的意义的所在。因此，我们有必要对变分法进行进一步的讨论。 2. 单参数模型求解过程的总结以及讨论 在量子力学中，对于众多的定态问题，由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，仅有少数模型能被精确 求解。例如一维无限深势阱、一维线性谐振子、平面转子系统、氢原子等。因此，正如经典力学中的三体 [2] 问题等少体问题，我们需要采用近似方法来研究它们 。 对于氢原子模型，可以将它等效成一个中心正电荷与一个负电子相互作用的两体问题[3]。进一步，采 用质心系，可以将其简化为单体问题。因此氢原子体系的哈密顿算符仅为电子的动能项以及原子核与电子 之间因库仑引力而产生的库仑势能项，即 ∧ 2 2 h 2 e − ∇H − （1） 2u r ， 对应的薛定谔方程，可以在坐标表象中得到它的精确解。对于核外电子数为 2 的氦原子，同样可以写 出体系中的哈密顿算符