2009广东省压轴题.docVIP

2009年全国中考数学压轴题精选精析（广东） 1.（09年广东佛山）25．一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义——定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题. 课本里对四边形的研究即遵循着上面的思路． 当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究． 已知：四边形中，，且． （1）借助网格画出四边形所有可能的形状； （2）简要说明在什么情况下四边形具有所画的形状． （09年广东佛山25题解析）（1）四边形可能的形状有三类：图“矩形”、图“等腰梯形”、图的“四边形”． 注1：画出“矩形”或“等腰梯形”，各给1分；画出另一类图形（后两种可以看作一类），给2分； 等腰梯形不单独画而在后两种图中反映的，不扣分；画图顺序不同但答案正确不扣分． 注2：如果在类似图或图④的图中画出凹四边形，同样给分（两种都画，只给一种的分）． (2) （i）若是直角（图），则四边形为等腰梯形； 6分 （ii）若是锐角（图），存在两个点和，得到等腰梯形和符合条件但不是梯形的四边形； 8分 其中，若是直角（图），则四边形为矩形． 9分 （iii）若是钝角（图④），存在两个点和，得到等腰梯形和符合条件但不是梯形的四边形； 11分 注：可用与或者与是否相等分类；只画矩形和等腰梯形并进行说明可给4分． 2.（09年广东广州）25．（本小题满分14分） 如图13，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为． （1）求该二次函数的关系式； （2）过轴上的一点作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （09年广东广州25题解析）解：（1）设点，，其中． ∵抛物线过点， ∴． ∴． ∴． ∵抛物线与轴交于两点， ∴是方程的两个实根． 求的值给出以下两种方法： 方法1：由韦达定理得：． ∵的面积为， ∴，即． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 解得． ∵， ∴． ∴所求二次函数的关系式为． 方法2：由求根公式得，． ． ∵的面积为， ∴，即． ∴． ∴． 解得． ∵， ∴． ∴所求二次函数的关系式为． （2）令，解得． ∴，． 在中，， 在中，， ∵， ∴． ∴． ∴是直角三角形． ∴的外接圆的圆心是斜边的中点． ∴的外接圆的半径． ∵垂线与的外接圆有公共点， ∴． （3）假设在二次函数的图象上存在点，使得四边形是直角梯形． ①若，设点的坐标为，， 过作轴，垂足为，如图1所示． 求点的坐标给出以下两种方法： 方法1：在中， ， 在中，， ∵， ∴． ∴． ． 解得或． ∵， ∴，此时点的坐标为． 而，因此当时在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形． 方法2：在与中，， ∴． ∴． ∴． 以下同方法1． ②若，设点的坐标为，， 过作轴，垂足为，如图2所示． 在中，， 在中，，∵∴． ∴．．解得或． ∵，∴，此时点的坐标为． 此时，因此当时，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形．综上所述，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形，并且点的坐标为或． 3.（09年广东茂名）25．（本题满分10分） 已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设 （1）求的值； （2分） （2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示） （4分） （3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”． 探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值． （4分） （09年广东茂名25题解析） 解：（1）在上，，∴．2分 （2）由（1）得：， 在上， 当时，，． 分 解法一：设抛物线表达式为：，4分 又， ，，，5 分 经过点的抛物线的解析式为：．6 分 解法二：，，，设，4 分 把代入：，得，5 分 抛物线的解析式为．6 分 （3）存在美丽抛物线．7 分 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，等腰直角三角形斜边的长小于2，等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1．时，， 当时，， 当时，， ∴美丽抛物线的顶点只有． 8分 ①若为顶点，由，则； 9分 ②若为顶点，由，则， 综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线． 10分 4.（09年广东梅州）23．本题满分 11