吉布斯现象的MATLAB实现 重庆大学电子实验班课题.docxVIP

吉布斯现象的MATLAB实现 2011级电子实验班 1．吉布斯效应的定义 将具有不连续点的周期函数x(t)（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数N越多，在所合成的波形SN中出现的峰起越靠近原信号x(t)的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象通常称为吉布斯现象（Gibbs-phenomena）. [1]2．吉布斯现象的实现复杂周期信号如方波、锯齿波等,通过一定的数学工具，如在Matlab中，可以由直接画出，也可以由一系列频率不同的谐波叠加 [2]绘得。最后将两种方法得到的图像加以比较，从而验证Gibbs现象。2.1 周期方波,式中，T为周期，可以展开为傅里叶级数：其中，.这里假设方波周期为T=2，幅值A=1.2.1．1 Matlab源程序：N=input(选取项数N=); %N表示要选取的项数k=input(选取点的间距k=); %k表示变量t所需的点t=-2*pi:k:2*pi; %创建自变量矩阵s=SQUARE(t);plot(t,s,r);grid on;axis([-8,8,-1.5,1.5]);xlabel(t);ylabel(x);gtext(s=原方波);hold on;y=0;for n=1:2:N, y=y+4/pi/n*sin(n*t); %傅里叶级数的前N项和endplot(t,y);hold off;title(gibbs现象——方波)h=(max(y)-1)/2 %峰起占总跳变值得比例，这里总跳变值为2.2.1.2 Matlab分析图像：1).标准方波： 2).N=,30,K=0.01时: h=0.0897,3).N=300，K=0.01时：h=0.08844)N=3000，k=0.01时：h=0.0090,5).N=30000,K=0.01时，h=0.0054由图可以看出，同一k下，N越大，谐波叠加后越接近原方波。同样，可以做出k=0.001,0.0001,…,时，N=30，300，3000的图像以及得到各种情况下的h.在此，不再做出图像，直接得到各种情况下的h的值，并与k=0.01比较。 试验次数kNh10.01300.089720.013000.088430.0130000.009040005450.001300.089760.0013000.089470088480089590.000130000.0891由表格可以看出，间隔k越小，因为作图时会更精细，所以Gibbs现象会越呈现越明显的趋势。K=0.01时，N越大，h越小，应该是k的取值不够精细引起的。2.2 周期锯齿波以锯齿波最低点为原点做平面直角坐标系，这里假设周期T=2,绝对高度A=1.这样可以简化运算得到：.经过傅里叶变换可得： .又因为方波实验中应经验证，k的取值越精细越容易得到实验结果，所以实验中直接将k=0.0001.2.2.1 Matlab源程序N=input(选取项数N=); t=-2*pi:0.0001:2*pi; %创建自变量矩阵s=(SAWTOOTH(t)+1)/2;plot(t,s,r);axis([-8,8,-1.5,1.5]);grid on;gtext(s=原锯齿波);hold on;y0=0;for n=1:1:N, y0=y0+(-1)/pi/n*sin(n*t);%傅里叶级数的前N项和endy=0.5+y0; %加上直流分量plot(t,y);hold off;title(gibbs现象——锯齿波)xlabel(t);ylabel(y);h=max(y)-1 %峰起占总跳变值得比例2.2.2 matlab图像分析1).标准锯齿波：2). N=30时，h=0.07333). N=300时，h=0.08784). N=3000时，h=0.891由上述图可以看出，当k=0.0001(恒定)时，N越大，谐波叠加也就越接近原锯齿波；h也逐渐向0.09靠近。3 .结　语(1) 当用有限项之和重现原信号(复杂周期信号)波形时,随着n 值的增大,合成的结果越接近原波形.(2) 当n 值增大时,跳变峰向间断点靠近,但跳变峰幅值并未明显减小,跳变峰所包围的面积减小,Matlab 使这种吉布斯现象得到清楚的表现. [3](3) 通过本次实验，锻炼了发现问题，分析问题，解决问题的能力。为以后的学习提供了宝贵的经验和教训。4.参考文献[1] 郑君里,杨为理.信号与系统（第二版）.