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第七章 空间问题基本理论 一、 应力与应力张量 二、 平衡微分方程 三、 应力状态 四、 边界条件 五、 主应力与应力主方向 六、 应力球张量和应力偏张量 七、几何方程 3、 主应变与主应变方向 4、应变不变量 八、 应变协调方程 九、 应力应变关系 静力平衡和几何变形 通过具体物体的材料性质相联系 材料的应力应变的内在联系 材料固有特性，因此称为物理方程 或者本构关系 1、 广义胡克定义 弹性体变形过程的功与能 各向同性弹性体 3、 弹性体的应变能函数 第五章 弹性力学边值问题 本章任务 总结对弹性力学基本方程 讨论求解弹性力学问题的方法 §10.1 弹性力学基本方程 位移解法的基本未知量为3个位移函数 基本方程为3个拉梅方程 对于位移边界条件，位移解法是十分的合适的。 体力为常量时一些物理量的特性 两个弹性对称面 9个弹性常数 相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面， 第三个必为弹性对称面 拉压与剪切变形 不同平面内的剪切之间没有耦合作用 称为正交各向异性 正应力仅与正应变有关； 切应力仅与对应的切应变有关。 物理意义——物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。 数学反映——应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。 金属材料——各向同性弹性体，是最常见的工程材料。 弹性力学主要讨论各向同性材料。 根据正交各向异性本构关系 1）各向同性材料沿x，y和z座标轴的的弹性性质相同； 2）弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关 各向同性材料广义胡克（Hooke）定理 l, m称为拉梅（Lame）弹性常数 应力表示本构方程 E为弹性模量 G为剪切弹性模量 v为横向变形系数——泊松比 2、 拉梅常量与工程弹性常数 杨 泊松 工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为 两个独立的弹性常数 实验测定： 单向拉伸实验可以测出弹性模量E 薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G 各向同性材料 主应力状态——对应的切应力分量均为零。 所有的切应变分量也为零。 所以，各向同性弹性体 应力主轴同时又是应变主轴 应力主方向和应变主方向是重合的 以应力主轴为坐标轴，则对应的切应力分量均应为零。 应变表示的应变能函数 应变能 应力表示的应变能函数 泊松比n恒小于1，所以U0恒大于零。 单位体积的应变能总是正的。 目录 §10.1 弹性力学基本方程 §10.2 问题的提法 §10.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 §10.4 圣维南局部影响原理 §10.5 叠加原理 总结弹性力学基本理论； 讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。 弹性力学基本方程 1. 平衡微分方程 2. 几何方程 3. 变形协调方程 位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。 本构方程——广义胡克定律 应力表示 应变表示 基本方程：平衡微分方程；几何方程和本构方程以及变形协调方程。 边界条件 若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知 则面力边界条件为： 若物体表面的位移 已知，则位移边界条件为 若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件 总结： 弹性力学基本方程和边界条件 弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。 求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。 为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。 §10.2 问题的提法 在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。 按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。 第一类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz，边界条件为面力边界条件。 第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。 第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。 以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。 若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。 位移解法 ——以位移函数作为基本未知量 应力解法 ——以应力函数作为基本未知量 混合解法 ——以部分位移和部分应力分量作为基本未知量 §10.3 弹性力学问题基本解法解的唯一性 选取位移函数作为基本未知量求解的方法称为位移解法。 主要工作： 利用位移函数u,v,w表达其他未知量； 推导位移函数描述的基本方程 ——位移表达的平衡微分方程 1