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第2章 单自由度系统的振动 主讲 贾启芬 Mechanical and Structural Vibration 工程振动与测试 目录 Mechanical and Structural Vibration 2.1 无阻尼系统的自由振动 2.2 计算固有频率的能量法 2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系统的衰减振动 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 2.6 周期激励作用下的受迫振动 2.7 任意激励作用下的受迫振动 2.8 响应谱 第2章单自由度系统的振动 2.1 无阻尼系统的自由振动 Mechanical and Structural Vibration 第2章单自由度系统的振动 关于单自由度系统振动的概念 典型的单自由度系统:弹簧-质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统 Mechanical and Structural Vibration 第2章 单自由度系统的振动 自由振动方程 当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为 其中 取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到 无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形 固有圆频率 Mechanical and Structural Vibration 2.1 无阻尼系统的自由振动 其通解为： 其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时， 可解 Mechanical and Structural Vibration 自由振动方程 2.1 无阻尼系统的自由振动 两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。 另一种形式 无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动 初相位角 振 幅 Mechanical and Structural Vibration 自由振动方程 2.1 无阻尼系统的自由振动 振幅、初相位和频率 系统振动的周期 系统振动的频率 系统振动的圆频率为 圆频率pn 是物块在自由振动中每2? 秒内振动的次数。f、 pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。 Mechanical and Structural Vibration 2.1 无阻尼系统的自由振动 用弹簧静变形量dst表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时 固有圆频率 Mechanical and Structural Vibration 振幅、初相位和频率 2.1 无阻尼系统的自由振动 等效刚度系数 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程 等效的概念 这一方程，可以等效为广义坐标的形式 Mechanical and Structural Vibration 2.1 无阻尼系统的自由振动 等效的概念 Mechanical and Structural Vibration 等效刚度系数 2.1 无阻尼系统的自由振动 串联弹簧与并联弹簧的等效刚度 例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是dst，而弹性力分别是 系统平衡方程是 Mechanical and Structural Vibration 等效刚度系数 2.1 无阻尼系统的自由振动 如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 k称为并联弹簧的等效刚度系数。 并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。 系统的固有频率 Mechanical and Structural Vibration 等效刚度系数 2.1 无阻尼系统的自由振动 （2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。 当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和，即 dst = d1st + d2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为 如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于 Mechanical and Structural Vibration 等效刚度系数 2.1 无阻尼系统的自由振动 如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来