概率论与数理统计--第六章 样本及抽样分布.pptVIP

一、总体与样本 练 习 小结 [分析] 根据简单随机样本的性质， 相互独立，服从同分布 易见 也相互独立，并且由于 故 从而有 2．设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…，X8为一个 样本， 则（ ）成立。 1．设总体X~N（8，4），X1，X2，…，X5为一个样本 (2) ~ t (7) （1） ~ t (8) (4) ~ t (8) (3) ~ t (7) 下页 则 P{X9}=（ ）；P{ 9}=（ ） 两个最重要的统计量 样本均值 样本方差 三个来自正态分布的抽样分布: 几个主要结论 ～ 概率论是数理统计的理论基础；数理统计是概率论的应用. 概率论是在（总体）Ｘ分布已知的情况下，研究Ｘ的性质及统计规律性． 数理统计是在（总体）Ｘ分布未知（或部分未知）的情况下，对总体Ｘ的分布作出推断和预测. 下页 绪 言 概率论与数理统计的关系 通过从总体抽取部分个体（样本），通过对样本的研究，对总体作出推断或预测．是一种由部分推测整体的方法． 数理统计的研究方法 数理统计内容丰富，应用广泛。数理统计 初步知识： 参数估计；假设检验 ； （方差分析；回归分析）． 1. 总体 研究对象的某项数量指标的全体. （或随机试验的全部可能观察值） 在研究2000名学生的年龄时, 这些学生的年龄的全体就构成一个总体, 每个学生的年龄就是个体. 2. 个体 总体中的每个元素（或可能观察值）. 实例1 第六章 样本及抽样分布 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命. 3. 有限总体和无限总体 实例2 当有限总体包含的个体的总数很大时, 可近似地将它看成是无限总体. 一般地, 我们所研究的总体, 即研究对象的某项数量指标 X , 其取值在客观上有一定的分布, X是一个随机变量. 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从 总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关 总体的信息，这一抽取过程为 “抽样” 简单随机抽样即为随机地独立地抽取，如：有放回抽样；无放回抽样。 当总体很大，样本容量较小时，认为是近似的简单随机抽样。 3. 样本 样本观测值 样本满足下面两点 （1）代表性： X1,X2,…,Xn与总体X有相同的分布. （2）独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量. 样本容量 二、统计量的定义 统计量是样本的函数； 不含未知参数； 是随机变量，具有概率分布。 定义 说明 实例3 几个常用的统计量 (1) 样本平均值 (2) 样本方差 样本标准差 (3) 样本 k 阶(原点)矩 样本 k 阶中心矩 由以上定义得下述结论: 三、统计量的分布----抽样分布 1. 其中伽玛函数 的定义为 性质1 ( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. ) 性质2 证明 t 分布又称学生氏(Student)分布. 2. 当 n 充分大时, 其图形类似于标准正态变量概率密度的图形. 由分布的对称性知 3. 根据定义可知, 正态总体的样本均值与样本方差的分布 定理1 说明 1、 ～ 2、不论总体服从何种分布，若存在 则 定理二 定理三 定理四 例1．设总体X ~ N（12，4），抽取一个样本 （X1，X2，…，X5）． 下页 求 例2．设总体X ~ N（0，0.32）, n =10,求 解： ∵ X/0.3~N（0，1）， ∴ 下页 例3 设总体X服从正态分布 是来自总体X的简单随机样本，则随机变量 服从 什么分布？自由度是多少？