有限元程序设计--第二章 微分和变分.pptVIP

湖南大学机械与运载工程学院 College of Mechanical Vehicle Engineering, Hunan University 有限元基础知识：虚位移原理，加权余量法 三本教材 The Finite Element Method-Volume I 有限单元法基本原理和数值方法 有限元法的实用教程 连续介质系统 微分方程 (Differential formulation) 变分方程 (Variational formulation) 加权余量法 Weighted residual method(WRM) Galerkin Method 最小二乘法 Least square method 配点法等 里兹法 （Ritz method) 有限元方法 Finite element method(FEM) 微分方程 简单的单自由度系统 x u(x,t) 横截面积A，密度ρ R0 X X X X 平衡方程的直接推导 微分方程 边界条件 初始条件 本质边界条件（位移边界条件） Essential boundary condition 自然边界条件（力边界条件） Natural boundary condition 虚位移原理 变分方程 体力和外载荷 系统的总势能，应变能和外载荷的总势能 对于上节提到的简单的杆问题 刚度为K，外载为P的 平衡方程 虚位移原理 由于势能Π函数包含了积分式，且可以用位移变量来表示，则在变分法中称为泛函。泛函Π取驻值的必要条件是它的一阶变分等于零，即δΠ＝0。而“容许位移”是指满足体系给定的位移边界条件的位移（称为容许位移），也就是几何可能的位移。容许位移可有无限多种，它们满足全部变形谐调条件，但不一定满足平衡条件。容许位移中只有同时（通过几何和物理关系）满足全部平衡条件者才是所给力学问题的真实解答。由此可知，势能驻值条件式δΠ＝0实际上就是用能量形式表示的平衡条件。 著名的虚位移原理 This is principle of virtual displacement 虚位移原理 虚位移 设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给结构一个可能发生的位移即虚位移，则外力对虚位移的功（虚功）必等于结构因虚变形获得的虚应变能，为虚位移原理。 虚位移原理-平衡方程和边界条件 更进一步会发生什么？ 有变分方程如何得到平衡方程和平衡条件？ Derive the differential equation of equilibrium and boundary condition at x=L 回顾分部积分法 由虚位移原理到微分方程 虚位移原理-平衡方程和边界条件 虚位移原理-平衡方程和约束条件 由此我们可以推导得到微分形式 在整个推导过程中，我们仅仅采用了位移边界条件，也就是本质边界条件； 本质边界条件涵盖与泛函中，在W中得到体现 ULR 分部积分法 为什么要采用变分的方式推导平衡方程 为建立系统的控制方程提供了一种较为容易的方法，在变分中考虑的是标量（内能和势等)而不是向量（力和位移）； 可以直接推导出控制方程和边界条件，尤其在复杂的系统下，有些变量在直接法中需要考虑而在变分方程中不需要考虑（内力不做有效功）； 可以选择更多的试函数，实验函数可以不满足所有的边界条件，因为有些隐含的边界条件已经包含在泛函中。 虚位移原理-平衡方程和约束条件 加权残值法和Ritz法 如何求解微分方程 微分算子 采用何种方式去逼近,才能使误差最小 令误差与权函数相关联,则有 w w= 1 Error 两个问题，如何选择试函数，如何将误差控制到最小 引进权函数w,不同的权函数代表不同消除误差的准则 加权残值法 加权残值法的种类 子域法(Subdomain method) 将求解域划分成N个子区域，在每个子区域内另权函数为1，而子区域之外取权函数为0，如果各个子区域内分别取试函数，那么其思想就类似于有限元法； 配点法(Collection method) 指定残值在若干个点上为0，这些点为配点 最小二乘法(Least square method) 通过使在整个求解域上的平方和取极小值来消除残值 权函数 加权残值法 Galerkin方法 权函数与试函数相同; 是否允许不满足自然边界条件的试函数； 必须是2m可微的，当考虑由子域组合时，那么其连续性的要求无疑提高了； 加权残值法 等截面悬臂梁(求B点的纵向位移) 平衡方程为 边界条件 y x A B q L 加权残值法 令试函数为 平衡方程的余量为 首先，用Subdomain方法求解，令只有一个子域，那么 为什么选取这样的试函数？ 加权残值法 配点法(仅仅采用一个点建立消除残值的条件） 最小二乘法 加权残值法