有限元程序设计--第三章 杆单元.pptVIP

湖南大学机械与运载工程学院 College of Mechanical Vehicle Engineering, Hunan University 敲门砖：杆单元 最简单的单元 * 什么是杆 杆的定义 A truss element is a straight bar of an arbitrary cross-section, which can deform only in its axis direction when it is subjected to axial forces. * 一维等截面杆单元及其刚度矩阵 考虑一个2节点一维等截面杆单元 对于弹性模量为常数的均一截面杆单元，当载荷仅作用在单元的节点上时，单元内部各点的应变为常数，为常应变单元 再次回顾位移-应变和应力-应变关系 L— 杆长 A— 截面积 E— 弹性模量 * 单元特性的直接推导（1） 杆单元伸长量 应变 内力 应力 轴向刚度 * 单元特性的直接推导（2） 轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为（直接刚度法）： 比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为： * 虚位移原理推导模式 步骤1) ： 假设单元上近似位移函数——位移模式 假设单元上的位移为简单多项式函数。有限元中用插值法通过节点位移（待定参数）定义单元位移函数。 由于该杆单元只有2个未知位移分量，因此单元上假设的简单位移函数采用一次多项式。故对单元的节点位移进行线性插值。 x = 0, u(x=0) = u1 x = le, u(x=L) = u2 ? 该式是有限元法中最重要的关系式之一，通过该式把单元上的近似位移分布函数用节点位移来表示，是单元层次上分析的基础。 * 虚位移原理推导模式 形函数的几何意义 * 虚位移原理推导模式 步骤2) ： 单元的应力和应变 * 虚位移原理推导模式 步骤3) ： 虚位移原理推导单元刚度矩阵 弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能 弹性体的虚位移：假想在弹性体上发生的，满足位移许可条件（内部连续，边界协调）的微小、任意位移场；可以理解为某个位移场的微小扰动（变分）。 节点虚位移 单元虚位移分布 则单元虚应变 节点力（外力）虚功 * 虚位移原理推导模式 回顾虚位移原理 刚度矩阵的一般形式 * 简单的说明 在单元局部坐标系下，每个节点一个未知位移分量和一个自由度，单元共有2个自由度； 单元刚度矩阵的物理意义 单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示： 当维持单元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为0时，施加在单元上的节点力分量。 * 一个单元的例子 P l * 一个简单的例子 解析解 有限元解 (1 truss element) ? * 两个单元的例子 组装，对号入座 * 平面和空间的杆单元 2D问题 局部 总体 每节点一个自由度 X，Y 每节点2个自由度 * 平面和空间的杆单元 2D问题：向量的坐标变换 节点的位移分量和节点力分量在2-D局部坐标系x-y下描述。节点上的位移和节点力向量在2-D局部坐标系与2-D总体坐标系下的变换如下： * 平面和空间的杆单元 向量的变换矩阵 节点位移变换 * 平面和空间的杆单元 刚度矩阵的坐标变换 写成矩阵符号形式 利用前面的向量坐标变换式 考虑到变换矩阵的正交性，得： 总体坐标系中的单元刚度矩阵 平面和空间的杆单元 整体刚度矩阵 例子 30o L A=2 in2 E=30 x 106 psi L=60 in symmetric 例子 x y E = 30 × 106 psi 总体刚度矩阵的构造 单元1 单元2 单元3 单元叠加得到总体单元矩阵 位移边界条件 单元应力 * 平面和空间的杆单元 向3D进军 * 平面和空间杆单元 向量变换矩阵的扩展 方向余弦 Direction cosines * 平面和空间杆单元 湖南大学机械与运载工程学院 College of Mechanical Vehicle Engineering, Hunan University