有限元程序设计--第七章 平面问题的有限单元法(Q4).pptVIP

几何意义所在 例子 例子 几何意义所在 * 数值积分 Simpson公式 y x a b 二次函数得到精确积分值 * 数值积分 Gauss积分 高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分。 高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式，用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分结果。 * 数值积分 m xj wj Accuracy n 1 0 2 1 2 -1/?3, 1/?3 1, 1 3 3 -?0.6, 0, ?0.6 5/9, 8/9, 5/9 5 4 -0.861136, -0.339981, 0.339981, 0.861136 0.347855, 0.652145, 0.652145, 0.347855 7 5 -0.906180, -0.538469, 0, 0.538469, 0.906180 0.236927, 0.478629, 0.568889, 0.478629, 0.236927 9 6 -0.932470, -0.661209, -0.238619, 0.238619, 0.661209, 0.932470 0.171324, 0.360762, 0.467914, 0.467914, 0.360762, 0.171324 11 * 数值积分 等参元中积分阶次的选择 积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工作量。 积分阶次的选择必须保证积分的精度。（完全精确积分） 很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分更好的精度。（减缩积分） 线性单元 完全精确积分 减缩积分 * 节点位移和约束反力 通过求解平衡方程即可解出全部未知的节点位移： 约束反力 把解出的d代入未经修改的平衡方程，即可得到约束反力： 关于上述方程的解算方法，一般不采用求逆的方法求解，而是直接采用高斯消元法等求解线性方程组的方法求解求解。 施加边界条件后，得到修改后的平衡方程 (未约化的) * 应力处理 * 例题 考虑一个平面应力问题如图所示，假设厚度h=1，材料为各项同性，杨氏模量为E=1，泊松比为ν=0，相关力和位移边界条件如图中所示，问题左端为固定约束。试用一个四边形单元分析此问题，四边形单元的网格划分如图所示。试求问题各节点位移u、v和应力σx，σy和σxy。 * 例题 对于四边形单元，其等参元形函数的表达式为： 1 2 3 4 * 例题 选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为 1 ( - 1, - 1) 2 (1, - 1) 3 (1, +1) 4 ( - 1, +1) h x 对于积分点1 * 例题 * 例题 选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为 1 ( - 1, - 1) 2 (1, - 1) 3 (1, +1) 4 ( - 1, +1) h x 对于积分点2 * 例题 四边形单元 * 引 言 3节点三角形单元是常应变（常应力）单元。在应变梯度较大的部位（亦即应力梯度较大的部位），单元划分应适当密集，否则不能反映真实的应变变化而导致较大的误差。 提高计算精度的其它措施 采用高精度三角形单元（2次单元、3次单元…） 采用四边形单元（1次单元、2次单元…） * 4节点四边形单元 * 构造位移函数： 对u,v分别利用节点条件： 4节点四边形单元 * 对于一般四边形，逆矩阵的表达式比较复杂。 4节点四边形单元 T的伴随矩阵 * 4节点四边形单元 4节点四边形单元的形函数 * 4节点四边形单元 N—单元形状函数矩阵de —单元节点位移矩阵 四边形单元内任意一点的位移 * 4节点四边形单元 特例：4节点矩形单元 矩形单元的重心坐标 4节点四边形单元 4节点四边形单元 Delta 条件 Partition of unity * 4节点四边形单元 应变矩阵 刚度矩阵 不再是常数矩阵！ * 等参单元 对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（包括高次曲边四边形单元）。 引入等参单元 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。 * 等参单元 等参单元：