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Laplace方程的九点差分格式 邱文林 (中南林业科技大学 理学院 信息与计算科学,湖南省 长沙市 410000) 摘 要: 本文通过网格剖分，并使x与y方向上的步长相等，来建立Laplace方程的九点差分格式，并给出其截断误差及数值算例。 关键词: 网格剖分; Laplace方程;九点差分格式;截断误差;数值算例 中图法分类号: 　　 文献标识码: A The Nine-point Difference Scheme of Laplace Equation QIU Wen-lin (Dept. of Information and Computing Science, School of Science, Central South University of Forestry Technology, Changsha Hunan 410000, China) Abstract: This paper establishes the nine-point difference scheme of Laplace equation on the basis of grid division and maintaining the step length of x and y direction equally, and gives the truncation error and numerical example. Key words: Grid division; Laplace equation; Nine-point difference scheme; Truncation error; Numerical examples 引言 方程又称为调和方程位势方程 因为法国数学家拉普拉斯首先提出而得名 下面要求解的是它的差分格式 代替它的传统五点差分格式[2]. 考虑如下方程定解问题 , . (0.1) , . (0.2) 的差分格式为矩形区域 其中 , , , 为边界点集将区间作等分, 记, , 将区间等分,记,, , 称为方向的步长称为方向的步长. 记称其属于的结点1], 为内结点,为边界结点显然. 为方便起见, 记,. 以下推导过程, 令, 使得方向与方向上的步长相等. 在结点处考虑方程(0.1)有 . (1.1) 将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开整理得 (1.2) 再将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开, 整理得 利用, (1.3)两式 整理得 其中 , (1.6) 再将分别以为中心关于运用泰勒级数展开 利用上面两式 (1.7) 将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开得 上面两式 (1.8) 同理, 将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开 (1.9) 同理, 将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开 (1.10) 将1.8)(1.10)三式代入到1.7), 整理得 将分别以为中心关于运用泰勒级数展开 同理可得 将上述两式代入到中 (1.12) 其中 又 则 再将, (1.14)两式代入到可得 此时, 将(1.15)式代入到中 (1.16) 再将(1.6), (1.16)两式代入到中可得 那么 有 是的八阶偏导数的绝对值于考虑区域的上确界 则为方程的截断误差为方程的截断误差 舍去截断误差代替 (1.17) 其中 结合边值条件, 可得如下差分格式 , (1.18) , . (1.19) 差分格式的求解 将差分格式(1.18)(1.19)中改写为 (2.1) 系数矩阵 , 为三对角块矩阵, 均为阵 其中, , 由, 可进一步写为 均为行的列向量, 其中 为三对角块矩阵, 实为大型稀疏矩阵, 并非严格的三对角矩阵, 不宜用追赶法求解, 可用Jacobi或Gauss- Seidel迭代来求解此以大型稀疏矩阵为系数矩阵的线性方程组. 数值算例 下面将通过方程的九点差分格式 算例 应用差分格式1.19)计算如下二维方程问题. , . (3.1) , . , , . 该定解问题的精确解为. 表1 算例部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解 (1/2,1/4) (1,1/4) (3/2,1/4) (1/2,1/2) (1,1/2) 1/4 20.950882 30.