14反函数及其应用-教师版.docxVIP

教学内容概要高中数学备课组教师：年级：高三学生： 日期上课时间主课题：反函数及其应用教学目标：1、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数2、掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系教学重点：指数函数的图像特征及对称性教学难点：反函数定义域的确定家庭作业1、完成拓展内容2、复习知识点教学内容【知识精讲】1、反函数的表达形式：2、反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 3、定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与互为反函数，函数的定义域为、值域为，则，；4、单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称。5、求反函数的一般方法：（1）由解出；（2）将中的互换位置，得；（3）求的值域得的定义域【经典例题】例1、求下列函数的反函数：（1）；（2）；（3）．解：（1）由得，∴，∴所求函数的反函数为．（2）当时，得，当时，得，∴所求函数的反函数为．（3）由得，∴，∴所求反函数为．例2、函数的图象关于对称，求的值．解：由得，∴，由题知：，，∴．例3、若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值．解：∵既在的图象上，又在它反函数图象上，∴，∴，∴．例4、设函数，又函数与的图象关于对称，求的值．解法一：由得，∴，，∴与互为反函数，由，得．解法二：由得，∴，∴．例5、已知，是上的奇函数．（1）求的值，（2）求的反函数，（3）对任意的解不等式．解：（1）由题知，得，此时，即为奇函数．（2）∵，得，∴．（3）∵，∴，∴，①当时，原不等式的解集，②当时，原不等式的解集．例6、已知函数的反函数，（1）若，求的取值范围；（2）设函数，当时，求的值域．解：∵　，∴　． （1）∵ 即． ∴， ∴ 解之得， ∴．（2）∵ ，令 ，显然在[0，1]递增，则有．∴，即的值域为．例7、已知函数（1）求函数的定义域，并判断它的单调性（不用证明）；（2）若的反函数为，证明方程有解，且有唯一解；（3）解关于的不等式。解： (1) 的定义域为， 在定义域内是增函数。(2)令，得。即是方程的一个解设是的另一解，则由反函数的定义知，这与矛盾，故有且只有一个解。(3)由，且为定义在上的增函数，得，解得或，这也即为不等式的解。【拓展提高】例8、若，设函数的零点为，的零点为，则 。4【分析】：的零点即方程的解或函数图像与轴交点或变形为，看成和两个函数图像的交点的横坐标；同理得的零点可以看成和两个函数图像的交点横坐标。 在同一坐标系下画图可得。例9、若满足，满足，则 【分析】：转换为满足,满足,利用函数图像解答。例10、已知函数.（1）若的反函数是，解方程：；（2）当时，定义. 设，数列 的前项和为，求、、、和；（3）对于任意、、，且. 当、、能作为一个三角形的三边长时，、、也总能作为某个三角形的三边长，试探究的最小值.解：（1） (2) 若，，，若，，，若，，，若，，， 当时，， 当时，， 当时，， (3) 由题意知，若能作为某个三角形的三边长 又：当时，有成立，则一定有成立. 即 不合题意. 又当时，取，有,即，此时可作为一个三角形的三边长，但，即，所以、、不能作为三角形的三边长.综上所述，的最小值为2. 解法2：，由题意知，若能作为某个三角形的三边长设 , 若，则，显然能作为某个三角形三边长若，由（1）知.由(2)知 而，则故：【巩固练习】1、函数的反函数为________________.2、如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是 （ D ） 3、设函数的图像关于原点对称，且存在反函数. 若已知，则 . -44、设函数，则的值为 （ B ）A．0 B．1 C．10D．不存在5、设函数的反函数是，且过点，则经过点 ． 6、函数的反函数．7、若函数的图像与的图像关于直线对称，则＝ ． 18、函数（）的反函数是 （） .9、已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x的不等式的解集是 ．； 1