经济应用数学基础微积分九.pptVIP

★未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。 当n=1时，称为一阶微分方程； 当n1时，称为高阶微分方程。 特点：右端不显含 解法 满足初始条件 的特解。 方程并分离变量后，有 两端积分，得 例1 求微分方程 即 所以 两端积分，得 于是所求的特解为 特点：右端不显含 解法 解 代入原方程得 原方程通解为 例 2 二阶常系数齐次线性方程的一般形式 二阶常系数非齐次线性方程的一般形式 9.4 二阶常系数线性微分方程（补充内容） 二、线性微分方程的解的结构 1.二阶常系数线性齐次方程解的结构: 问题: 其中 、 为常数 证明： 由前面定理知 是（1）的解 在 不等于常数的条件下，可以证明 中含有两个任意常数，所以 是（1）的解。 若 ，则 ，于是 其中 ，因而 中只有一个常数，所以不是（1） 的通解。 满足 不等于常数这一条件的两个解称为线性无关的。 因此， 是（1）的解的充分必要条件是：常数 为 分析: 若能够找到一个函数 ,使得 , 且 , 则 什么样的函数具有这样的特点呢?我们很自然想到指数函数 为常数,将它代入上式得 则有 , 称为（1）的特征方程。 特征方程的根。 * 第九章 微分方程与差分方程简介 一、微分方程的一般概念 二、一阶微分方程 三、几种二阶微分方程 四、二阶常系数线性微分方程 五、差分方程简介 9.1 微分方程的一般概念 解 1、问题的提出 解 代数方程 特点：未知变量是数 方程：含有未知量(数)的等式。 函数方程（泛函方程） 特点：未知变量是函数 1. 微分方程的定义 定义：包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数的关系式，称之为微分方程 。 常微分方程：自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。 偏微分方程：自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。 2. 微分方程的阶 3. 微分方程的解 常微分方程的解的表达式中，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。 为了得到合乎要求的特解，需要对微分方程附加一定的条件，它由系统在某一时刻的初始状态给定。称这种条件为初始条件。 初始条件 常微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 小结 偏微分方程； 9.2 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式是 一阶微分方程的初始条件： 记作 或 当 时， 解法 为微分方程的解. 分离变量法 一、可分离变量的一阶微分方程 形如 的方程，称为变量分离方程. 说明：以后可以不需要详细写出处理绝对值符号的过程。 例2 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 例3 练习：课本P410,2(1,2,3) 二、齐次微分方程 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 可分离变量的方程 1.定义 例 2 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 3 求解微分方程 解 微分方程的解为 练习：课本p410, 3(3,4) 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 三、一阶线性微分方程 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 2. 线性非齐次方程 解 例3 练习：课本P410 3(1，2) 小结：一阶微分方程的求解 一、变量分离方程； 二、齐次方程（作变换y=ux）； 三、线性方程（常数变异法） 9.3 几种二阶微分方程 二阶微分方程的一般形式为 形 如 的微分方程是最简单的二阶微分方程。 一、最简单的二阶微分方程 特点：右端是 的一元函数。 解法：连续求 两 次积分。 例 解微分方程 *