经济数学微积分二.pptVIP

函数与极限 一、映射的概念 二、逆映射与复合映射 四、函数的几种特性 一、映射的概念 第二节 映射与函数 二、逆映射与复合映射 三、函数的概念 四、函数的基本性态 五、小结 思考题 1.定义一： 设X 与 Y 是两个非空集合，若对 X 中的每一个元素 x，均可找到 Y 中唯一确定的 元素 y 与之对应，则称这个对应是集合X 到集合 Y 的一个映射，记为 f ，或者更详细地写 将 x 的对应元 y 记作 并称 y 为映射 f 下 x 的像，而 x 称为映射 f 下 y 的 原像(或称为逆像). 集合 X 称为映射 f 的定义域， 记作 ，而 X 的所有元素的像f (x) 的集合 称为映射 f 的值域，记为 例1 设 A={商场中的所有商品 }，B={商场中商 品九月份的销量 }，则 是一个映射， 例2 设 A={1，2，3 }，B={4，5，6，7 }，则 是一个映射， 有唯一 确定的 y=f (x) 与之对应. 概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素： 需要指出的是： （1）映射要求元素的像必须是唯一的. （2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的. (3) 对应法则 f : 2.定义二： 设 f 是集合X 到集合Y 的一个映射， 若 f 的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两 个不同元素 x1 ≠x2 ，它们的像 y1 与 y2 也满 足 y1 ≠ y2 ，则称 f 为单射； 如果映射 f 满足 Rf = Y ，则称 f 为满射； 如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为双射（又称一一对应 ）. 1.逆映射： 如果映射 f 既是单射，又是满射，则 逆映射， 例3 设 A={1，2，3 }，B={4，5，6}，则 既是单射，又是满射，存在逆映射 例4 设 A=[0，π]，B=[－1，1]，则 既是单射，又是满射，存在逆映射 2.复合映射： 那就可以构造出一个 和 新的对应关系 复合映射. 例5 因此不能构成复合映射 但若将 g 的定义域缩小，就有可能构成复合映射. 比如令 则可以构成复合映射 因变量 自变量 三、函数的概念 D 称为定义域，记作Df ，即 Df = D . 函数值的全体构成的数集称为值域，记为： 自变量 因变量 对应法则f 2.函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值. 定义: 　　如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数． 是多值函数 (1) 符号函数 3.几个特殊的函数举例 1 -1 x y o (2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 显然: 有理数点 无理数点 ? 1 x y o (3) 狄利克雷函数 (4) 取最值函数 y x o y x o 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 例1 解 综上，有: 例2 解 1．函数的奇偶性(parity): 偶函数 y x o x -x 奇函数 y x o x -x 2．函数的周期性(periodicity): （通常说周期函数的周期是指最小正周期）. 例3 解 由条件知： 故 是周期函数，且 是它的一个周期. 3．函数的单调性(monotonicity): x y o x y o M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 4．函数的有界性(bounded): * *