线性代数_矩阵.pptVIP

§1.6 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的等价标准形 求逆矩阵的初等变换法 总结 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的初等变换与初等矩阵的关系 矩阵的等价标准形 求矩阵的等价标准形的初等变换法 求逆矩阵的初等变换法 * * 定义 矩阵的行（列）初等变换指的是一个矩阵施 行的下列三种变换： 1.交换矩阵的两行（列）； 一. 矩阵的初等变换 2.用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每 一个元素； 3.用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每 一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的行初等变换和列初等变换统称为初等变换。 定义 对单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵。 1. 交换单位矩阵 的第 行（或列）得到的初等 矩阵记为 。 三种初等变换对应着三种初等矩阵： 二. 初等矩阵 例 的第 行（或列）得到 2. 用数 乘单位矩阵 的初等矩阵记为 。 例 把单位矩阵 的第 列的 倍加到第 列上）得到 的初等矩阵记为 3. 把单位矩阵 的第 行的 倍加到第 行上（或 例 初等矩阵的逆矩阵还是同型的初等矩阵。 （2）初等矩阵都是可逆矩阵，且 性质（1）初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵,且 定理 设 初等变换相当于在矩阵 的左边乘以一个相应的 施行一次行 矩阵，对矩阵 是一个 施行一次列初等变换相当于在 阶初等矩阵；对矩阵 阶初等矩阵。 的右边乘以一个相应的 矩阵 例：矩阵 （1）将矩阵A的第3列和第1列交换： （2）将矩阵A的第3行乘2加到第1行： （3）将矩阵A的第3行乘2： 1. 矩阵的等价标准形 定义1.15 若矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的（或相抵的）。 三. 求逆矩阵的初等变换法 特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0. 定理1.7 任意矩阵A都与一个形如 的矩阵等价。 这个矩阵称为矩阵A的等价标准形。 证明： 定理1.7 任意矩阵A都与一个形如 的矩阵等价。 这个矩阵称为矩阵A的等价标准形。 例1：化下列矩阵为等价标准形 （1） （2） 解： （1） （2） 推论1 对于任意 矩阵A，存在m阶初等矩阵 和n阶初等矩阵 使得 推论2 对于任意 矩阵A，存在m阶可逆矩阵 和n阶可逆矩阵 使得 注：此推论告诉我们，当A可逆时，则A经过一系列的初等变换后总可以化为单位矩阵。 推论3 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A 的等价标准形为En. 推论4 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可 以表示为有限个初等矩阵的乘积. 若A可逆，则存在初等矩阵 和 使得 充分性. 若A可以表示成有限个初等矩阵的乘 积，则由于初等矩阵都可逆，所以A也可逆。 所以 即A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。 证 必要性. 2. 求逆矩阵的初等变换法 作同样 和同阶的单位矩阵 如果对可逆矩阵 的行初等变换，那么当 变为单位矩阵时， 就变为 矩阵 ，即： 例 同理，对可逆矩阵A和同阶的单位矩阵E作同样的列初等 变换，那么当A变为单位矩阵时，E就变为矩阵 了。 例 例 求 的逆矩阵。 解 设A为n阶可逆矩阵, 求解矩阵方程AX=B. 方法一: 先求出 , 然后计算 方法二: 设A为n阶可逆矩阵, 求解矩阵方程XA=B. 方法一: 先求出 , 然后计算 方法二: 例 求解矩阵方程AX=B, 其中 解法一: