粒子的经典与量子分布.pptVIP

 上节求出了与一个分布相对应的系统的微观状态数。根据等几率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，每一个可能的微现状态出现的几率是相等的。 因此，微观状态数最多的分布，出现的几率将最大，称为最可几分布，是实际上最可能发生的分布。 本节导出在定域系统中粒子的最可几分布，称为玻耳兹曼分布。 先证明一个近似等式： 求条件极值的方法 第三，未定乘子α和β由宏观条件确定: 第五 §3.3 玻色分布和费米分布 处在平衡状态的孤立系统具有确定的粒子数N，体积V和 能量E（E到E+ 之间）。 说明，普朗克常数h是量子物理中的常数。在纯粹经典统计的公式中是不应该出现普朗克常数的。利用 消去式中的h,可以得到 §3.5 理想气体的热力学函数 3、经典极限讨论 §5-7 能量均分定理及其应用 二、理想气体的内能和热容量 （1）平动 取决于分子的振动频率，量级在103(双原子) §3.6 麦克斯韦速度分布律 §3-7 热力学量的统计表达式 三、理想气体的熵 经典统计理论 三维情况 与h0有关，不是绝对熵。经典统计理论的原则性问题。 量子统计理论下，理想气体熵的统计表达式 符合广延性，是绝对熵无参数！ 给出的熵函数不满足熵为广延量的要求，为了免除这个矛盾， 吉布斯提出将熵的统计表式改为 分子遵从玻耳兹曼分布。但是相对应的微观状态数是 在上式中加上 正好符合熵与微观状态数的关系。 在满足非简并性条件 N个分子，体积为V，气体满足非简并性条件，且在宏观大小的容器内，分子平动,能级是很密集的，可以应用经典近似。 在没有外场时，分子质心运动能量的经典表式为： 在体积V 内，在 的动量范围内，分子平动的状态数为 在体积V内，在的动量 范围内的分子数为： 玻耳兹曼分布的经典近似公式是： 玻色系统 费密系统 W 玻色分布 玻色系统 根据等几率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，每一个可能的微观运动状态出现的几率是相等的。因此，使 为极大的分布，出现的几率最大，是最可几分布！ 且可用近似式 因而 为极大的分布，必使 为零。 使 用拉氏乘子 和 乘这两个式子中减去 ，得 是玻色系统中粒子的最可几分布，称为玻色分布。拉氏乘子 假设 相同的方法，费米系统中粒子的最可几分布为： 拉氏乘子 满足 费米分布 能级有 个量子态 对粒子的所有量子状态s求和。 其中 处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的因此处在能量为 量子态s上的平均粒子数为： 玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布 这时任一量子态上的平均粒子数都远小于1，即非简并性条件或经典极限条件。当非简并性条件满足时，玻色分布与费密分布都过渡到玻耳兹曼分布，这跟前面的有关结论是一致的。 说明，在导出玻色分布和费密分布时，应用了 即 因此以上的推导是有严重缺点的。后面将用巨正则系综求平均分布 的方法严格地导出玻色分布和费密分布。 §3.4 经典近似 在一定的极限条件下，可以从量子统计物理学过渡到经典统计物理学。 量子理论 粒子的统计分布 本节讨论从量子统计到经典统计的极限过渡问题。 第二，根据量子力学，量子状态由一组量子数表征。处在有限空间范围中的粒子，具有分立的能级和量子态。 1. 经典，量子的区别： 第一，在经典描述中，全同粒子是可以分辨的；而在量子描述中，全同粒子不可分辨。 玻耳兹曼是以全同粒子可以分辨的概念为基础导出的。 而根据经典力学，粒子的运动状态由广义坐标和广义动量描述, 粒子的能量是连续变量。 假设在所考虑的问题中，可以应用玻耳兹曼分布。而且粒子的 能级非常密集，任意两个相邻能级的能量差 满足 普朗克常数 是一个小量！ 量子统计和经典统计的实质区别将消失，量子统计将过渡到经典统计。 2. 量子过渡到经典的条件 能级 经典粒子的能量 表示当粒子的坐标和动量处在 空间 范围时其能量的数值。 空间体积元 中的状态数 简并度 玻耳兹曼分布的经典表达式 最可几分布下，坐标和动量在 空间范围的粒子数 。 配分函数的经典表达式为： 当各 取得足够小时，上式的级数化为积分 利用配分函数Z中，消去h其结果与纯粹经典统计结果是一致的。 一般气体满足非简并性条件 过渡到经典近似的两个条件都得到满足，我们可以用经典近似讨论单原子分子理想气体的问题。 遵从玻耳兹曼分布 单原子分子看作没有内部结构的质点 没