线性代数4习题答案.pptVIP

第四章 线性方程组 原程组无解. 原程组有唯一解. 由阶梯形矩阵得原方程组的同 解方程组为： 回代求解得： 1.线性方程组AX = b 无解, 一、填空题 则 R(A|b) 且R(A)=3, 应满足_______. 秩为4 线性方程组AX = b 有解,且R(A)=3 则 R(A|b) 应满足_______. 秩为3 2.设A是方阵, 线性方程组AX = X 有非零解的充分 必要条件是______________. |A – I | = 0 3. 设n元线性方程组 Ax = ? 有解, 若 R(A) = n – 2 , 则 Ax =θ的解空间的维数为_____. 2 4. 设Ax = b为四元非齐次线性方程组，R(A)=3， 是Ax = b的三个非零向量， 则Ax = b的通解为____________. 5、若 既是非齐次线性方程组Ax = b的解， 的解，则 又是 __________ 解: 是非齐次线性方程组Ax = b的解 又是 的解 有非零解 6. 设A是n阶方阵，且R(A)=n-1， 是线性方程 组AX= 0的两个不同的解向量，则AX= 0的通解是 ____________. 7.设n阶方阵A的各行元素和均为零，且R(A)=n-1，则 齐次线性方程组AX= 0的通解为 ____________. 解: 所给齐次线性方程组含有3个未知量3个方程, 若它仅有零解, 由于 则其系数行列式不得为零. 故应选 (C) . 二.选择题 (1) 若齐次线性方程组 仅有零解, 则有 ( ). (A) k = 4 或 k = –1 ; (B) k = – 4 或 k = 1 ; (C) k ≠ 4 且 k ≠ –1 ; (D) k ≠ – 4 且 k ≠ 1 . C (2) 线性方程组 有唯一解的条件是( ). (A) m = n ; (B) R(A) = R(A b) = n ; (C) Ax = ? 只有零解; (D) (A),(B),(C)都不对. B (3) 方程的个数少于未知量的个 若方程组 Ax=? 中, 数, 则有( ). (A) AX = ? 一定无解; (B) AX = ? 必有非零解; (C) AX = ? 仅有零解; (D) AX = ? 的解不能确定. B (4) 是 AX = ? 的基础解系， 为任意常 已知 是非齐次方程组 Ax=b的两个不同解 , 数, 则Ax=b的通解为 ( ). (A) 解: 根据题意可知： (B) (C) (D) A AX = ? 的解空间维数为2 是非齐次方程组 Ax=b的两个不同解，则 是 AX = ? 的基础解系，则 (A) (B) (C) (D) 正确 不正确 不正确 不正确 (5) 设A是m×n矩阵,齐次线性方程组 仅有零解的充分条件是( ). (A) A的列向量线性无关; (B) A的列向量线性相关; (C) A的行向量线性无关; (D) A的行向量线性相关. 解: 三.求齐次线性方程组 的基础解系. 由于n–r = 3 – 2 = 1, 与原方程组同解的方程组为: 解得 故基础解系为 1）. 则原方程组有无穷多解 令 可取 为自由未知量. 解: 由于n–r = 4 – 2 = 2, 与原方程组同解的方程组为: 解得 故基础解系为 2）. 则原方程组有无穷多解 令 可取 为自由未知量. 四. 求方程组 的特解. 解: 由于 可取 为自由未知量. 令 与原方程组同解的方程组为: 解得: 方程组的特解为: (不唯一) 若取 为自由未知量. 方程组的特解为: 五. 解下列线性方程组 1）. 解: 则原方程组有无穷多解 原方程组的同解方程组为 为自由未知量. 可取 令 解得: 可取 为自由未知量， 基础解系为 方程组的通解为: 令 方程组的特解为: 原方程组的导出组同解方程组为： 得 解: 2）. ∴原方程组有无穷多解 且与原方程组同解的方程组为: 可取 为自由未知量. 令 特解为： 原方程组导出组同解的方程组为: 令 故原方程组导出组的基础解系为： 可取 为自由未知量. 解得 故原方程组的通解为： 3）. 解: 由于 n – r =4 – 2 = 2 , 可取 为自由未知量. 故原方程组有无穷多解 令 故原方程组的特解为： 取 为自由未知量. 基础解系为： 方程组的通解为: 解得: 令 再令 解得: 原方程组导出组同解的方程组为: 六.综合题 1）. 已知非齐次线性方程组AX = b 有特解 求方程组AX=b 的通解. 解: 依题意知 n – r =3 –1= 2 , 即基础解系包含2个解 向量. 由于 又